Tespit edildiğinde üstel durumlara sahip NFA

10

Eşdeğer NFA'nın durumuna sahip olduğu durumuna sahip bir DFA örneğini nasıl oluşturabilirim . Açıkçası DFA devlet kümesi NFA devlet kümesinin tüm alt kümeleri içermelidir, ancak nasıl başlayacağımı bilmiyorum. Beni doğru yola sokmak için bir öneriniz var mı? $2^n$ $n$

automata finite-automata

— saadtaame
kaynak

Bu soru biraz belirsiz. Genel olarak, herhangi bir normal dil için sonsuz sayıda eşdeğer DFA ve herhangi bir normal dil için sonsuz sayıda eşdeğer DFA vardır. durumlu minimum DFA'lar istiyorsanız , farklı NFA'lar aynı dili tanıyabildiğinden ve farklı sayıda duruma sahip olabildiğinden, aynı minimum DFA'ya karşılık geldiğinden, bu her zaman mümkün değildir. Ek olarak, yalnızca "minimal" NFA'ları dikkate almak istiyorsanız, bu biraz daha ilginç hale gelir ...

2^{n}

$2^n$

— Patrick87

2

Patrick, OP'nin minimal DFA'nın minimal NFA'dan katlanarak daha büyük olduğu bir örnek anlamına geldiğini düşünüyorum.

— Yuval Filmus

@ Patrick87 Bir algoritma aramıyorum. Tek istediğim bir çift makineye bir örnek: durumlu DFA ve dili aynı dili kabul eden NFA .

2^{n}

$2^n$

n

$n$

— saadtaame

@saadtaame: Bu önemsiz: herhangi bir DFA alın ve ulaşmak için yeterli durum ekleyin . İlginç örnek, asgari eşdeğer DFA'nın çok sayıda duruma sahip olduğu örneklerdir.

2^{n}

$2^n$

— Raphael

1

DFA minimizasyonu hakkındaki Wikipedia makalesinin uygun örneklere atıfta bulunduğunu unutmayın (küçük NFA'yı kendiniz bulmanız gerekir).

— Raphael

18

Standart örneği dildir bir alfabe üzerinde tüm kelimelerin boyutu yok tüm farklı harfleri içerir. NFA kabul vardır ile devletleri (veya Birden başlangıç devletler izin verirse devletler): İlk bir mektup tahmin eksik, hangi sonra gidin (bir -hareket) kendinden döngülü bir kabul haline dışındaki tüm harfler için . $L$ $A$ $n$ $L$ $n+1$ $n$ $a$ $\epsilon$ $A$

için herhangi bir DFA en az durumu gerektirir . Bu, Myhill-Nerode teoremi kullanılarak görülebilir. Let iki farklı alt-gruplar olabilir ve tüm sadece harf, kelime sırasıyla. Genelliği kaybetmeden, varsayalım ve . Daha sonra ise . $L$ $2^n$ $S_1,S_2$ $A$ $w(S_1),w(S_2)$ $S_1,S_2$ $a \in S_1 \setminus S_2$ $w = w(A-a)$ $w(S_1)w \notin L$ $w(S_2)w \in L$

— Yuval Filmus
kaynak

10

bu Mark V. Lawson Heriot-Watt Üniversitesi, Edinburgh, sayfa 68 "Sonlu Otomata" kitabında bir alıştırmadır:

Let . dilinin durumlu deterministik olmayan bir otomat tarafından tanınabileceğini gösterin . Bu dili tanıyan herhangi bir deterministik otomasyonun en az durumu olması gerektiğini gösterin . Bu örnek, deterministik olmayan bir otomattan karşılık gelen bir determinik otomasyona geçiş durumlarının katlanarak artmasının bazen kaçınılmaz olduğunu göstermektedir. $n \geq 1$ $(0+1)^\ast 1(0+1)^{n−1}$ $n+1$ $2^n$

— MK Dadsetani
kaynak

10

İdeal DFA'nın durumuna sahip olduğunu düşündüğünüzü tahmin edeceğim . Belki bu size durumu vermez , ama . $2^n$ $2^n$ $\Omega(2^n)$

Egzersizde Kushilevitz ve Nisan'ın "İletişim Karmaşıklığı" ndan 12.6:

"Bazı sabit [negatif olmayan tamsayı] için (sonlu) dilini göz önünde bulundurun ." $c$ $L_c = \{ww\mid w \in \{0,1\}^c\}$

kitap sizden durumlarını kullanan tanıyan bir ko-NFA bulabileceğinizi ve ayrıca bir DFA için durumlarından daha iyisini yapamayacağınızı kanıtlamanızı ister . $L_c$ $O(c)$ $\Omega(2^c)$

— Timothy Sun
kaynak

Ayrıca, ikinci bölümün kanıtı iletişim karmaşıklığını "gerektirir", bu nedenle bu sizin amaçlarınız için uygun olmayabilir.

— Timothy Sun

Cevap için teşekkürler! Ortak NFA ile ne demek istiyorsun?

— saadtaame

Temel olarak, bir NFA tanımında "kabul" ifadesini "reddetme" ile değiştirin. Yani, olası yolların hiçbiri reddetme durumuna yol açmazsa, kabul edersiniz, aksi takdirde reddedersiniz.

— Timothy Sun

Aslında, alt sınırı Myhill-Nerode'den oldukça kolay takip eder. (Aslında, gibi bir şey alabilirsiniz .) Ancak ortak NFA'm durumlarını kullanıyor.

2^{c}

$2^c$

(c + 1) 2^{c}

$(c+1)2^c$

Θ (c^{2})

$\Theta(c^2)$

— Yuval Filmus

Sonlu diller bu konuda biraz sıkıcıdır. Ayrıca buraya bakınız .

— Raphael

9

Bu geç bir cevap, ama görünüşe göre hiç kimse en uygun çözümü vermedi. Al , ve , Bu NFA açık iki harfli bir alfabe durumuna, sadece bir başlangıç ve bir son duruma ve eşdeğer minimum DFA'sının durumuna sahiptir. $A = \{a, b\}$ $Q_n = \{0, 1, \ldots, n-1\}$ ${\cal A}_n = (Q_n, A, E_n, \{0\}, \{0\})$

E_{n} = {(i, a, i + 1) ∣ 0 ⩽ i ⩽ n - 1} \cup {(n - 1, a, 0)} \cup {(i, b, i) ∣ 1 ⩽ i \leq n - 1} \cup {(i, b, 0) ∣ 1 ⩽ i ⩽ n - 1}}

$E_n = \{(i, a, i+1) \mid 0 \leqslant i \leqslant n-1\} \cup \{(n-1, a, 0)\} \cup \{(i, b, i) \mid 1 \leqslant i \leq n-1\} \cup \{(i, b, 0) \mid 1 \leqslant i \leqslant n-1\}\}$

n

$n$

2^{n}

$2^n$

— J.-E. Toplu iğne
kaynak

3

Çok zeki! Bu otomat tarafından kabul edilen dil , burada en çok kez harfini içeren tüm kelimelerden oluşur .

(a^{n} + a W_{n - 1} b)^{*}

$(a^n + aW_{n-1}b)^*$

W_{n - 1}

$W_{n-1}$

a

$a$

n - 1

$n-1$

— Yuval Filmus

2

@ yuval-filmus Bu örnek benim değil. Bir referans vermek istedim ama şu anda nerede gördüğümü hatırlamıyorum.

— J.-E.