Kırmızı-Siyah ağaçlarının hepsi dengeli değil mi?

Sezgisel olarak "dengeli ağaçlar", her düğümdeki sol ve sağ alt ağaçların "yaklaşık aynı" düğüm sayısına sahip olması gereken ağaçlar olmalıdır.

Tabii ki, kırmızı-siyah ağaçlardan * bahsedince (sondaki tanımlara bakınız) dengelendikten sonra, aslında yükseklik dengeli olduklarını ve bu anlamda dengeli olduklarını kastediyoruz .

Yukarıdaki sezgiyi resmileştirmeye çalıştığımızı varsayalım:

Tanım: İkili Ağaç, dengelenmiş, , eğer her düğüm için eşitsizlik varsa $\mu$ $0 \le \mu \leq \frac{1}{2}$ $N$

$μ \leq \frac{| N_{L} | + 1}{| N | + 1} \leq 1 - μ$ $\mu \le \frac{|N_L| + 1}{|N| + 1} \le 1 - \mu$
tutar ve her $\mu' \gt \mu$ için, yukarıdaki ifadenin başarısız olduğu bazı düğümler vardır. ve $|N_L|$ nin sol alt ağacındaki düğümlerin sayısıdır. ağacın altındaki ve kök olarak ile düğümlenen düğüm sayısıdır . $N$ $|N|$ $N$

İnanıyorum ki, bu konuyla ilgili bazı literatürlerde ağırlık dengeli ağaçlar denir .

Biri $n$ düğümleri olan bir ikili ağacın $\mu$ dengelenmiş (bir sabit $\mu \gt 0$ ) ise, o zaman ağacın yüksekliğinin $\mathcal{O}(\log n)$ , böylece güzel aramayı korur. özellikleri.

Yani soru şudur:

Bazı yeteri kadar büyük her kırmızı-siyah ağacın dengesiz olması için var mı? $\mu \gt 0$ $\mu$

Kullandığımız Kırmızı-Siyah ağaçlarının tanımı (Cormen ve arkadaşlarının Algoritmalara Girişinden):

Her düğümün kırmızı ya da siyah renkli olduğu ikili arama ağacı ve

Kök siyah
Tüm NULL düğümleri siyah
Bir düğüm kırmızıysa, her ikisi de siyahtır.
Her düğüm için, o düğümden soyundan NULL düğümlere giden tüm yollar aynı sayıda siyah düğüme sahiptir.

Not: Yukarıda $\mu$ balanced tanımındaki NULL düğümleri saymıyoruz . (Buna rağmen yapmamızın bir önemi olmadığını sanıyorum).

data-structures binary-trees search-trees

— Aryabhata
kaynak

@Aryabhata: Düzenlemenizdeki benzersizliğin ( ) nesi var ? Ben gerçeği ile iyiyim -balanced ima -balanced. Yüksekliği olarak ispatlamak için tam bulmanız gerektiğini sanmıyorum . Bir şey mi eksik?

μ^{'} > μ

$\mu'>\mu$

\frac{1}{3}

$\frac13$

\frac{1}{4}

$\frac14$

μ

$\mu$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Jmad

Ayrıca, her için bir ağaç içeren bir karşı örnek zincir sağlamak için negatif bir ifadeye ihtiyacınız var . Düğüm boyutunda küçülmeyen herhangi bir sonsuz zincir yeterlidir, değil mi?

n \in N

$n \in \mathbb{N}$

— Raphael

@jmad: Without

düzenlemek, her ağacın trivially olduğu

-balanced ve biz soruya önemsiz bir cevabım yok bu yüzden. Bundan kaçınmak istedim.

μ^{'}

$\mu'$

0

$0$

— Aryabhata

@Raphael: Anlamıyorum.

ağacının düğüm büyüklüğü

. Bunu biz almak ne ağaç fark etmez diyorsun

ve o

? Bana açık görünmüyor ve soru bununla ilgili!

n^{t h}

$n^{th}$

n

$n$

R B_{n}

$RB_n$

μ_{n} \to 0

$\mu_n \to 0$

— Aryabhata

Bu sorunun önceki bir sürümü, her adımda doğrusal miktarda çalışma yapan kırmızı-siyah bir ağaçta özyinelemeli bir algoritmanın çalışma zamanının mutlaka

olmadığını iddia etti . Bu iddia yanlıştı; yükseklik dengesi, bir

düğümü kırmızı-siyah ağacının derinliğinin

. Bu nedenle, ağacın her düzeyinde

çalışması yaparsanız , toplam çalışma

O (n \log n)

$O(n\log n)$

n

$n$

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— JeffE

Yanıtlar:

İddia : Kırmızı-siyah ağaçlar un- keyfi olabilir $\mu$ -balanced.

Kanıt Fikir : Birçok mümkün olduğunca düğümler ve belirli bir sayıda için mümkün olduğunca az düğümler olarak birlikte solda olarak doğru alt ağacı doldurun $k$ her kök-yaprak yolda siyah düğümlerin.

Kanıt : Bir dizi tanımlayın $T_k$ böylece kırmızı-siyah ağaçların $T_k$ sahiptir $k$ herhangi (sanal), ağacın köküne kadar her yolda siyah düğümleri. $T_k = B(L_k, R_k)$ ile tanımlayın

$R_k$ tam boy ağacı $2k - 1$ diğerleri siyah, kırmızı renkli birinci, üçüncü, ... düzeyiyle ve
$L_k$ yüksekliği tam ağacını $k-1$ siyah renkli tüm düğümlerle.

Açıkçası, tüm $T_k$ kırmızı-siyah ağaçlardır.

Örneğin, bunlar $T_1$ , $T_2$ ve $T_3$ , sırasıyla:

T_1
^{[ kaynak ]}

T_2
^{[ kaynak ]}

T_3
^{[ kaynak ]}

Şimdi sağ tarafın görsel izlenimini sola göre çok büyük olduğunu doğrulayalım . Sanal yaprakları saymayacağım; sonucu etkilemezler.

$T_k$ sol alt ağacı tamamlanmıştır ve daima $k-1$ yüksekliğine sahiptir ve bu nedenle $2^k - 1$ düğüm içerir. Diğer yandan sağ alt ağaç tam ve $2k - 1$ yüksekliğe sahip ve dolayısıyla $2^{2k}-1$ düğüm içeriyor . Şimdi kök için $\mu$ -balance değeri

$\qquad \displaystyle \frac{2^k}{2^k + 2^{2k}} = \frac{1}{1 + 2^k} \underset{k\to\infty}{\to} 0$

istendiği gibi $\mu > 0$ olmadığını kanıtlar .

— Raphael
kaynak

Hayır . Aşağıdaki özel yapıya sahip kırmızı-siyah bir ağaç düşünün.

Sol alt ağaç derinliği ile tam bir ikili ağaçtır her düğüm siyah olduğu. $d$
Sağ alt ağaç , tek derinlikteki her düğümün kırmızı olduğu ve çift derinlikteki her düğümün siyah olduğu, derinliği olan tam bir ikili ağaçtır . $2d$

Bunun geçerli bir kırmızı-siyah ağaç olduğunu kontrol etmek kolaydır. Fakat sağ alt ağaçtaki düğüm sayısı ( ), kabaca sol alt ağaçtaki düğüm sayısının karesidir ( ). $2^{2d+1}-1$ $2^{d+1}-1$

— JeffE
kaynak

+1: Teşekkürler! Ancak düğüm sayısı

. Belki 'ped' bunlar yeterince bir ağacını belirli bir boyut almaya Can

? (Yapılması gereken gibi görünüyor).

2^{2 d + 1} + 2^{d + 1} - 1

$2^{2d+1} + 2^{d+1} - 1$

n

$n$

— Aryabhata

Sınırsız sayıda

için zaten bir karşı örnek var , öyleyse neden rahatsız ettin ? Ancak, isterseniz sol alt gruba daha fazla kırmızı düğüm ekleyebilir veya sağ alt ağaçtan biraz kırmızı düğüm alabilir.

n

$n$

— JeffE,

@JeffE: Temel olarak karşı örnek zincir, 'seyrek' bir altküme yerine 'yoğun' bir altküme olacaktır. Belki de sorunun formülasyonunu değiştiririm.

— Aryabhata