Sonsuz alfabe Turing Makinesi

Sonsuz bir alfabeden sembolleri okuma ve yazma izni olan bir Turing Makinesi normal bir TM'den daha güçlü mü (tek fark bu, makine hala sınırlı sayıda duruma sahiptir)?

Sezgi bana söylemez, çünkü her sembolü farklılaştırmak için sonsuz sayıda duruma ihtiyacınız vardır. Bu yüzden sembollerin (veya geçişlerin bazı alt kümelerinin) neden olduğu bazı sembollerin veya geçişlerin eşdeğer olması gerektiğini düşünüyorum. Böylece böyle bir makineyi normal bir TM ve bu sembollerin veya geçişlerin sınırlı bir alt kümesiyle simüle edebilirsiniz.

Bunun resmi bir kanıtına nasıl yaklaşabilirim?

Hayır, daha güçlü olurdu. Geçiş işlevi artık sınırlı olmayacak ve bu size çok fazla güç kazandırıyor.

Sonsuz bir alfabe ile, herhangi bir giriş öğesini bir simgede sonsuz bir kümeden kodlayabilirsiniz (giriş kümesi alfabe kümesinden "daha sonsuz" olamaz, ancak alfabe muhtemelen sadece sayılabilir derecede sonsuzdur, bu nedenle sayılamayan öğeler gerçek sayılar gibi kümeler tek bir sembolle gösterilemez). Ve aynı şekilde çıktı için.

Böylece, hesaplamaya çalıştığınız işleve uygun olarak, kabul durumuna hareket eden ve bant kafasının altındaki sembolü değiştiren tek bir geçişle iki durumlu (bir başlangıç, bir kabul) sonsuz alfabe-TM yapabilirsiniz. Bu tarif, alfabe ile birebir yazışmalara girebilecek kümeler arasındaki herhangi bir eşlemeyi hesaplamanıza izin verecektir.

Bu dejenere makinenin her şeyin cevabı olmasını önlemek için, geçiş işlevinin yapabileceklerini kısıtlamanız gerekir. Açık olan bir şey, geçiş işlevinin kendisinin hesaplanabilir olmasını gerektirecektir (sıradan TM'nin geçiş işlevleri, sonlu oldukları için önemsiz bir şekilde hesaplanabilir). Ancak, hesaplanabilir işlevler modelinizi tanımlamak için hesaplanabilir işlevler kullanmaya çalışıyorsunuzdur.

Yukarıdaki cevap doğrudur, ancak sonsuz alfabe ve hesaplanabilirlik hakkında söylenebilecek biraz daha fazlası vardır.

Bir Turing Makinesi tüm kümelerin sonlu olduğu olarak tanımlanır. Böylece fonksiyonu mutlaka sonludur.$M = (Q, \Gamma,b,\Sigma,\delta, q_0, q_f)$

$$\delta: Q / F \times \Gamma \rightarrow Q \times\Gamma \times \{L,R \}$$

Sonsuz alfabe makinesinde biz giriş alfabe yerini alacak Say tarafından bant alfabe böylece tarafından geçiş fonksiyonu uyarak:$\Sigma$$\Sigma^{inf}$$\Gamma^{inf}$$\delta^{inf}$

$$\delta^{inf}: Q / F \times \Gamma^{inf} \rightarrow Q \times\Gamma^{inf} \times \{L,R \}$$

Bu yüzden zorunlu olarak sonsuz bir işlevdir. Bu fonksiyonun hesaplanamaz olması durumunda belirtildiği gibi, yukarıdakiler sonlu olarak temsil edilemez. Mümkünse (kısmi) özyinelemeyi sürdüreceğimizi varsayalım . Soru, alfabenin her zaman buna izin verip vermeyeceği.$\delta^{inf}$$\delta^{inf}$

Temel sorun, sonlu bir alfabenin bütünüyle sunulmasıdır (böylece işlevlerimizi tekrar tekrar tanımlamayı seçebiliriz), ancak sonsuz bir alfabe asla bütünüyle sunulamaz. Peki alfabeyi hangi mekanizma üretiyor?

Bunu düşünmenin en basit yolu sonlu bir "çekirdek" alfabe olduğunu hayal etmektir, örneğin . Ardından bir dil . abaab dizesini varsayalım . Ardından tanımlayın . Böylece sonsuz alfabe, den gibi tek bir sembole birleştirilen dizelerden oluşur .$A=\{a,b\}$$L \subset A^*$ $\in L$$\alpha = <abaab> \in \Gamma^{inf}$$L$$<abaab>$

Bu tür en basit alfabe temel olarak <1 *> 'dir , her sembolün her bir semboldeki dikey konturların sayısını sayarak ayırt edildiği normal dildir. Bu, bir sonlu durum ayrıştırıcısı ile hesaplanacaktır (bir LBA olarak, bir Sonlu Otomata olarak değil). Turing, bir TM işleminde sonlu olmayan bir işlemin ortaya çıkmasını önlemek için sonlu bir alfabe olmasını savundu. Bununla birlikte, İngiliz alfabesinin 26 harfinin bu sayma desenine uymadığını belirtmek gerekir: z harfi, 26 kontur veya nokta veya herhangi bir şey içermez. Böylece, tekrar eden numaralandırılabilir (yeniden) diline dayanan en genel hesaplama modeli ile başka modeller mümkündür .$L$

Buradaki sorun , nin tanımı açıkça belirtilmedikçe mümkün olmayacağıdır . Bunun nedeni kısmen yeniden kümelerin denkliği kararsızdır ve kısmen de aksi takdirde çalışmak için sadece sınırlı bir örneğimiz vardır ve bundan çıkaramaz . Eğer biz tanımı var (ve dolayısıyla ) daha sonra eğer özyinelemeli olan sonra isimli yinelemeli sonlu bir ve böylece kesinlikle yinelemeli ve özyinelemeli olabilir.$\delta^{inf}$$L$$L$$L$$\Gamma^{inf}$$f$$\Gamma^{inf}$$f$$f$$\delta^{inf}$

Son olarak, nin iki örnekle ilgili olmadığını düşünüyoruz:$L$

Örnek 1 . iff ayrılıyor. Bu durumda, alfabesinin sonlu bir açıklaması olmayacaktır - bunun yerine zamanla "büyüyecektir" (ve yalnızca bazı hesaplama sınırlarında tamamen tanımlanacaktır). Ama o zaman, hiçbir durumda bir anda sunulamayan sonsuz bir alfabe. Bu nedenle , içinde yinelemeli ise , f - ayarındadır. Bu nedenle özyinelemeli olamaz.$<n>\in \Gamma^{inf}$$\phi_{n}(n)$$\Gamma^{inf}$$f$$\Gamma^{inf}$$\Delta_2^0$$\delta^{inf}$

Örnek 2 . Daha geometrik bir örnek Penrose benzeri Fayansları dikkate alır . Sembol Let ise kanıtlanmıştır olabilir karo düzlemi N aperiyodik çini birimidir. Bu alfabe sonsuzdur, çünkü herhangi bir N için Penrose karolarının N-karo ünitesini inşa edebilir. Bununla birlikte, düzlemin döşenmesi kararlaştırılamaz, bu nedenle bu gibi daha fazla karo keşfedildikçe S seti büyüyecektir. Olası bir özyinelemeli S. fayans ama kesinlikle yinelemeli olmayan olabilir f (S) = sayı$S\in\Gamma^{inf}$$S$$f$$\Gamma^{inf}$