Neden PSPACE ≠ EXPTIME olduğuna inanıyoruz?

PSPACE'in neden EXPTIME'dan farklı olduğuna inanıldığını sezgisel olarak anlamakta güçlük çekiyorum. PSPACE, giriş büyüklüğünde uzay polinomunda çözülebilen bir sorun kümesi ise , o zaman daha fazla üssel zaman patlaması yaşayan ve üssel alanı kullanmayan bir problemler sınıfı nasıl olabilir?$f(n)$

Yuval Filmus'un cevabı çoktan yardımcı oldu. Bununla birlikte, biri neden PSPACE ≠ EXPTIME (yani PSPACE'in EXPTIME'ın uygun bir alt kümesi olmadığı) olabileceği konusundaki tartışmamı açıklayabilir mi? Girdi boyutuyla polinomlu olarak ölçeklenen alanla elde edilebilecek toplam sistem konfigürasyonu sayısı için üst sınırın üstesinden gelmek için üstel alana gerek yok mu? Sadece söylemek gerekirse, EXPTIME ≠ EXPSPACE'in neden açık bir mesele olduğunu anlayabiliyorum, ancak PSPACE ile EXPTIME arasındaki ilişkiyi anlamıyorum.

Tanımları yenileyelim.

• PSPACE , polinom uzay sınırlarına sahip deterministik bir Turing makinesinde çözülebilen problemler sınıfıdır: yani, her bir problem için, girişinin uzunluğu olduğunda, en fazla teyp hücresi kullanarak sorunu belirleyen bir makine vardır.  , bazı polinomlar için  .n $p(n)$$n$$p$

• EXP , üssel zaman sınırlarına sahip deterministik bir Turing makinesinde çözülebilen problemler sınıfıdır: bu tür problemlerin her biri için girişi en fazla basamağını kullanarak soruna karar veren bir makine vardır.  , bazı polinomlar için  . n $2^{p(n)}$$n$$p$

İlk önce, bu iki sınıfın eşit olabileceğini söylemeliyiz. Farklı olmaları daha muhtemel görünüyorlar, ancak sınıflar bazen aynı çıkıyor: örneğin, 2004'te Reingold, simetrik logspace'nin normal logspace ile aynı olduğunu kanıtladı; 1987 yılında, Immerman ve Szelepcsenyi, bağımsız bir şekilde kanıtlamıştır NLco-NL$\;=\;$ (ve aslında, herhangi bir için NSPACE [ ] ortak NSPACE [ ]$f(n)$$\;=\;$$f(n)$ ).$f(n)\geq \log n$

Ama, şu anda, çoğu insan inanıyoruz Pspace ve EXP farklıdır. Niye ya? İki karmaşıklık sınıfında neler yapabileceğimize bakalım. PSPACE’te bir problem düşünün . Biz kullanan izin konum  uzunluğunun bir giriş çözmek için bant hücreleri  ancak karşı karşılaştırmak zor EXP bağlı bir süre belirtilir.$p(n)$$n$

Bir PSPACE problemi için ne kadar zaman kullanabiliriz ? Yalnızca  teyp hücrelerine yazarsak, bir ikili alfabe varsayımıyla teyp üzerinde görünebilecek farklı dizeler vardır. Şerit kafa  farklı yerlerden birinde olabilir ve Turing makinesi  farklı durumlardan birinde olabilir . Yani toplam yapılandırma sayısı. Güvercin deliği prensibi gereği , eğer adımlarına koşarsak, bir konfigürasyonu iki kez ziyaret etmeliyiz, ancak makine deterministik olduğu için, bu sık sık döneceği ve aynı konfigürasyonu ziyaret edeceği anlamına gelir, yani kazanırdı ' Durma İçinde olmanın tanımının bir parçası2 s ( n ) p ( n ) k T ( n ) = $p(n)$$2^{p(n)}$$p(n)$$k$$T(n) = k\,p(n)\,2^{p(n)}\!$p ( n ) $T(n)+1$PSPACE , soruna karar vermek zorunda olduğunuzdur, sonlandırmayan hiçbir makine PSPACE sorununu çözmez . Başka bir deyişle, PSPACE en fazla  uzayı ve en fazla zamanı kullanılarak en fazla bazı polinom için  . Bu yüzden PSPACEEXP .$p(n)$ 2 q ( n )$k\,p(n)\,2^{p(n)}$$2^{q(n)}$$q$$\;\subseteq\;$

EXP problemi için ne kadar yer kullanabiliriz ? Eh, basamağa izin veriliyor ve Turing makinasının başı her adımda sadece bir pozisyon taşıyabilir. Kafa konumundan daha fazla hareket edemediğinden, yalnızca o kadar fazla bant hücresi kullanabiliriz. 2 p ( n $2^{p(n)}$$2^{p(n)}$

Aradaki fark budur: Her iki halde Pspace ve EXP üstel sürede çözülebilir sorunlardır, Pspace oysa polinom uzay kullanımı sınırlıdır EXP Üstel alanı kullanabilirsiniz. Yani zaten düşündürmektedir EXP daha güçlü olmalı. Örneğin, grafiklerle ilgili bir sorunu çözmeye çalıştığınızı varsayalım. In Pspace , sen köşe her alt kümesi bakabilirsiniz (yalnızca sürer  bir alt kümesini yazmak için bit). Her alt kümede hesaplama yapmak için biraz çalışma alanı kullanabilirsiniz, ancak bir alt kümede çalışmayı tamamladığınızda, bu çalışma alanını silmeniz ve bir sonraki alt kümede yeniden kullanmanız gerekir. In EXP$n$Öte yandan, sadece her alt gruba bakamazsınız, çalışma alanınızı tekrar kullanmanıza gerek kalmaz, böylece her biri hakkında öğrendiklerinizi tek tek hatırlayabilirsiniz. Daha güçlü olması gerektiği gibi görünüyor.

Neden farklı olmaları gerektiğinin bir diğer sezgisi, zaman ve mekan hiyerarşi teoremlerinin bize, biraz daha fazla alan veya zamana izin vermenin, hesaplayabildiğiniz şeyi kesinlikle arttırdığını söylemesidir. Hiyerarşi teoremleri sadece benzerlerle karşılaştırmanıza izin verir (örneğin, PSPACE$\;\subsetneq\;$$\;\subsetneq\;$

Üstel sürede çalışan bir makine üstel alan kullanabilir. Bu nedenle, bir polinom alanla sınırlı olan makinelerin daha zayıf olması mümkün olabilir. P ve L için de benzer bir durum meydana gelir. Polinom zamanında çalışan bir makine polinom alan kullanabilir, bu nedenle önceden logaritmik alanla sınırlı olan makinelerin daha zayıf olması söz konusu olabilir. P'nin, L'nin deterministik olmayan analoğu olan NL'den farklı olduğu bile düşünüldü (PSPACE için karşılık gelen varsayımlar eşdeğerdir, çünkü PSPACE = Savitch teoremine bağlı olarak NPSPACE). şu anda. EXPTIME PSPACE varsayımı , P NL'yi doldurma argümanıyla ima ettiğinden daha güçlüdür .$\neq$$\neq$