Bir sayıya eşit olan binom katsayısını bulmanın karmaşıklığı

İkili kodlamada $m$ ( bit kullanarak bir sayı aldığınızı varsayın . $O(\log m)$

Ne kadar hızlı bulabilirsin (ya da böyle olmadığını tespit edebilirsin) ?

n, k \in N, 1 < k \leq \frac{n}{2} : (\binom{n}{k}) = m

$n,k\in \mathbb N, 1<k\leq\frac{n}{2}:{n \choose k}=m$

Örneğin, girişi $m=8436285$ , verilebilir $n=27, k=10$ .

Sorun için naif bir algoritma için tüm olası değerleri aşacak ve özelliği karşılayan $n$ değerini arayacaktır . $k$

Basit bir gözlem, küçük veya daha büyük değerlerinin kontrol edilmesine gerek olmadığıdır . Bununla birlikte ( değeri başına sadece olası değerlerini kontrol edebilsek bile ) bu, giriş boyutunda üstel olan verimsiz bir algoritma ile sonuçlanır. $n$ $\log m$ $O(\sqrt m)$ $O(1)$ $k$ $n$

Alternatif bir yaklaşım, olası değerlerini $k$ ( $\{2,3,\ldots,2\log m\}$ kontrol etmek) ve olası $n$ değerlerini kontrol etmek için yeterli olacaktır . Daha sonra şunu kullanabiliriz:

{(\frac{n}{k})}^{k} < (\binom{n}{k}) < \frac{n^{k}}{k!}

$\left(\frac{n}{k}\right)^k<{n\choose k}< \frac{n^k}{k!}$

Bu nedenle, belirli bir $k$ için yalnızca aralığındaki $n$ değerlerini kontrol etmemiz gerekir. $[\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{m\cdot k!},\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{m}\cdot{k}]$ , İkili arama kullanarak ( $k$ sabit olduğunda , $n \choose k$ select monoton olarak artar $n$ ), bu içinde çalışan bir polinom algoritması verir $O(\log^2m)$ .

Bu hala benim için verimsiz görünüyor ve sanırım bu doğrusal zamanda (giriş boyutunda) çözülebilir.

algorithms combinatorics

— RB
kaynak

Şimdiye kadar ne denedin? İpucu: de verildiğini varsayın . Bunu çözebilir misiniz? için olası değerlerin aralığı nedir ? Ya da verildiğini varsayın ; bu durumda çözebilir misiniz? için olası değerlerin aralığı nedir ?

n

$n$

n

$n$

k

$k$

k

$k$

— DW

Doğru değildir . Örneğin, . $(n-k)^k<{n\choose k}$ ${9\choose 2} = 36 < 49 = (9-2)^2$

Ben (henüz) binom katsayılarının aritmetik özelliklerini kullanarak ince bir çözüm bulamadım, ancak bu yardımcı olursa biraz kaba bir tane önerebilirim :-)

Her bir için için bir ilk tahmin (diyelim ) ve Newton-Raphson gibi analitik bir yöntem kullanarak çözebilirsiniz. çözmek istiyorsunuz . İle ilgili olarak, sol taraftaki türevi olduğu burada bilgi işlem kolay digamma fonksiyonudur . $k$ $n$ $\sqrt[k]{k!\cdot m}$ ${n\choose k} - m = 0$ $n$ $(\psi(n+1)-\psi(n-k+1)){n\choose k}$ $\psi$

Bir Newton-Raphson aramasının karmaşıklığı sadece fonksiyonun ve türevinin hesaplanmasının karmaşıklığına ve çözüm için gerekli basamak sayısına bağlıdır (bizim durumumuzda sadece en yakın tam sayıya ihtiyacımız var).

Yani genel her biri için arama olmalıdır , için sınırları kullanarak algoritması için dolayısıyla toplam karmaşıklığı (bir binom katsayısı hesaplama sabit zaman aldığını, yapmış gibi görünüyor gibi varsayarak) olurdu . $k$ $O(1)$ $k$ $O(\log(m))$

— David Durrleman
kaynak

Ben kabul ederken sınırları, (bunun için teşekkür düzenleme bakınız) kapalı idi Verilen arama, neden açıklayabilir alır ?

k

$k$

O (1)

$O(1)$

— RB