Bilgisayar biliminde doğrusal cebirin hangi bölümleri kullanılır?

Bilgisayar bilimi materyallerini (esas olarak makine öğrenimi) anlamaya yardımcı olmak için Doğrusal Cebir ve Uygulamalarını okuyorum , ancak birçok bilginin CS için yararlı olmadığından endişeliyim. Örneğin, yeni bir denklem çözücü programlamaya çalışmadığınız sürece lineer denklem sistemlerinin verimli bir şekilde nasıl çözüleceğini bilmek çok yararlı görünmüyor. Ayrıca, bir matrisin tersi olduğunda, yayılma, doğrusal bağımlılık ve bağımsızlık hakkında çok şey konuştu ve bunlar arasındaki ilişkiler, ancak CS'de bunun herhangi bir uygulamasını düşünemiyorum. Öyleyse, CS'de doğrusal cebirin hangi kısımları kullanılır?

Bahsettiğiniz bölümler doğrusal cebirin temel kavramlarıdır. Önce temel kavramları anlamadan önce daha gelişmiş kavramları (özdeğerler ve özvektörler) anlayamazsınız. Matematikte kısayol yoktur. Span ve lineer bağımsızlık kavramlarını sezgisel bir şekilde anlamadan lineer cebirden uzaklaşamazsınız.

Bazı algoritmalar yalnızca tam sıralı matrislerle çalışır - Bunun ne anlama geldiğini biliyor musunuz? Bir matrisin tam rütbe olmamasını neyin yapabileceğini biliyor musunuz? Bununla nasıl başa çıkılır? Doğrusal bağımsızlığın ne olduğunu bilmiyorsanız hiçbir fikriniz olmayacaktır.

Doğrusal denklemleri çözmek için kullanılan Gauss eleme algoritması, yanlış uygulandığında aslında sayısal olarak kararsız olabilir ve bu, bazı durumlarda endişelenmeniz gerekebilecek bir şeydir. Algoritmayı anlamadan, sorunun nereden geldiğini ve bu konuda yapabileceğiniz bir şey olup olmadığını bilemezsiniz - lineer denklemleri çözmek için algoritmalar düzeyinde değil, çözmek için doğru lineer denklemler ile gelme seviyesinde.

Kısacası, tembel olmayın ve bu şeylerin yararlı olduğuna inanın.

Doğrusal cebir bazen grafik algoritmalarında son derece yararlı ve güçlüdür. İle matris ağacı teoremi verimli bir grafik (eğer özdeğerleri anlamamız gerekir) olmuştur kapsayan ağaç sayabilir. Doğrusal cebiri daha da sıkı kavramaya ihtiyaç duyduğunuz daha zorlu bir uygulama, polinom zamanında düzlemsel bir grafikteki mükemmel eşleşme sayısını hesaplamak için FKT algoritmasıdır .

Cebirsel grafik teorisi ve spektral grafik teorisinde lineer cebirin kullanımının çok daha heyecan verici örnekleri vardır . Ortaya çıkan algoritmalar sadece verdiğim iki örnek gibi problemleri saymak için değil. Örneğin, bağlantı olup olmadığını kontrol edebilir veya bir grafiğin çapını hesaplayabilirsiniz .

Doğrusal cebirin en iyi bilinen kullanımlarından biri Google'ın Pagerank algoritmasındadır :

PageRank değerleri, değiştirilmiş bitişiklik matrisinin baskın sol özvektörünün girişleridir.

Bilgisayar grafikleri, animasyon, bilgisayar görme, görüntü işleme, bilimsel hesaplama veya fiziksel olayların simülasyonunu içeren hemen hemen her şey, mekansal dönüşümleri ve yönelimleri temsil etmek gibi basit şeylerden çok karmaşık algoritmalara kadar vektörlerin ve matrislerin (doğrusal cebir) kapsamlı kullanımını içerecektir. Bunlar eskiden süper bilgi işlemin alanıydı, ancak şimdi bu aynı alanlar masaüstünüzdeki, telefonlarınızdaki ve video oyunlarından hesaplama fotoğrafçılığına kadar kendi kendine giden arabalara kadar her yerde en havalı uygulamaların çekirdeğidir. Doğrusal cebir her yerde.

Orada bol miktarda matris cebir tabanlı algoritma ve teknik var. Ve bu harika. Temel bileşen analizi, oldukça kullanışlı bazı lineer cebirlerin bir örneğidir. Aynı şey ortogonallik ve iç ürünlerde de köklere sahip olan Fourier analizi için de söylenebilir. Yani doğrudan uygulamalar var.

AMA , daha da önemlisi, lineer bir cebir sınıfı almak değerlidir, çünkü size belirli bir şekilde düşünmeyi öğretir. Çoğu iyi lineer cebir sınıfı genelleme, mantık ve ispatlara vurgu yapar. Genel olarak doğru olan bir şey mi, yoksa sadece belirli, belirli vakalar mı? Nasıl emin olabilirsin? Varsayımlarınızı nasıl ispatlayabileceğinizi düşünmek iyidir çünkü kötü varsayımlarda bulunmanıza ve varsaydığınız şekilde genelleme yapmayan kod yazmanıza engel olur. Ayrıca, genellemesi zor olabilecek şeyleri nasıl genelleştireceğinizi düşünmenize yardımcı olur ve bu da daha büyük sorunları çözmenize izin verir.

Özetle, lineer cebirin iyi olduğunu unutmamak gerekir, çünkü beyninizin bilgisayar bilimlerinde yararlı olan kısmı için ağırlık kaldırmadır.

Doğrusal denklemler sisteminin (Gauss eleme yöntemi ile yapılabilecek), doğrusal programlamanın (simpleks yöntemiyle çözülebilen), en küçük karelerin ve sıkıştırılmış algılama (Wikipedia makalesine bakın) çözülmesi, birçoğunda ortaya çıkan pratik problemlerdir uygulama alanları. Doğrusal cebir, bu problemler için doğru ve verimli algoritmalar geliştirmeye yardımcı olur.

Bölüm 28'in matris işlemleri ve Bölüm 29'un doğrusal programlama üzerinde olduğu [Cormen, Leiserson, Rivest ve Stein, “Algoritmalara Giriş, Üçüncü Baskı”] metnine bakın.