Neden P'de doğrusal programlama, ancak tamsayılı programlama NP-zor?

35

Doğrusal programlama (LP) P'de ve tamsayılı programlama (IP) NP zordur. Ancak bilgisayarlar sayıları sonlu hassasiyetle değiştirebildiğinden, pratikte bir bilgisayar doğrusal programlama için tam sayılar kullanıyor. Bu nedenle, LP ve IP aynı karmaşıklık sınıfında olmamalı mıdır?

complexity-theory polynomial-time

— Noob Sasha
kaynak

7

Jmite'nin cevabına biraz ekleme: Entegrasyon sınırlamalarının sorunu daha da zorlaştırdığı birçok durum vardır. Örneğin, tam sırtlı sırt çantası sorunu NP-Zor olmasına rağmen, kesirli sırt çantası sorunu polinom zamanında çözülebilir. Dolayısıyla bu sadece LP ve IP için doğru olan bir şey değildir.

— user340082710 12:15

7

Bilgisayarların tamsayılarla işlemler gerçekleştirdiğini düşünsek bile, bu, döndürülen çözümün bir tamsayı olduğu anlamına gelmez; rasyonel, yani iki tamsayının oranı olabilir. Ve bu çok daha fazla esneklik verir. Ve elbette, rasyonel bir çözümü her zaman IP için uygun bir çözüme dönüştüremeyiz . Genel olarak IP, değişkenler üzerinde sadece integral çözüm istemekten daha fazla kısıtlamaya sahip olacaktır. tamsayılı bir program düşünün .

0, 1

$0,1$

— megas

1

Özellikle rasyonel olduklarında, sayıları sonsuz hassasiyetle değiştirmek zor değildir. Sonlu hassasiyet, çalışma sürelerini azaltmak için yalnızca bir optimizasyondur.

2

@Hurkyl "Özellikle rasyonel olduklarında sayıları sonsuz hassasiyetle değiştirmek o kadar zor değil." Sqrt (2) vb. Gibi rasyonel + sayılar içeren ve Turing makinesi tarafından hesaplanabilecek sayılar kümesi olarak tanımlanan hesaplanabilir sayılar olarak adlandırılan gerçek sayıların kesin bir alt kümesi vardır. Oraya dahil olmayanlar, tanımı gereği, bir bilgisayar tarafından manipüle edilemez.

— Noob

1

@SashatheNoob Söylediğiniz şey, Hurkyl’in söylediklerine pek uygun değil. Hesaplanabilir Sayılar ne kadar kesin olabileceği konusunda önceden tanımlanmış bir maksimum sınırlamaya sahip değildir (turing makinesinin yeterli hafızasına sahip olması koşuluyla keyfi olarak istediğiniz herhangi bir değere ayarlanır - dolayısıyla sonsuz hassasiyete sahiptir). Hesaplanabilir Sayıların alt kümesinin tüm rasyonel sayıları içerdiğini söylemek için, bilgisayarların sayıları sonsuz hassasiyetle işleyebileceğini kabul ediyorsunuz. (Hurkyl'in ifadesi kesinlikle doğrudur. Bazı veri türleri için kesinliğin sınırlı olması, yalnızca bir optimizasyondur.)

— BrainSlugs83 21.03:

9

50 temsilci gerektirdiği için yorum yapamam, ancak yayılan bazı yanlış düşünceler var, özellikle Raphael'in yorumu “Genel olarak, sürekli bir etki alanı kaba bir kuvvetin olmadığı (ve onu hızlandırmak için zekice buluşmaların olmadığı” anlamına gelir).

Bu kesinlikle yanlıştır. Kilit nokta gerçekten de dışbükeyliktir. Bazı teknik kısıtlama niteliklerinin engellenmesi, dışbükey bir fonksiyon üzerinde dışbükey bir fonksiyonun en aza indirilmesi (veya bir içbükey fonksiyonun en üst düzeye çıkarılması), polinom zaman yakınsaması anlamında esasen önemsizdir.

Açıkça konuşursak, "matematiksel" optimizasyondaki bir problemin taşkınlığı ile "bilgisayar bilimi" optimizasyonundaki açgözlü algoritmaların uygulanabilirliği arasında bir yazışma olduğunu söyleyebiliriz. Bu, her ikisinin de yerel arama yöntemlerini etkinleştirdiği anlamına gelir. Açgözlü bir algoritmada asla geri adım atmanız gerekmeyecek ve dışbükey bir optimizasyon probleminde asla iniş yönünden pişman olmayacaksınız. Amaç fonksiyonundaki yerel iyileştirmeler, HER ZAMAN sizi global optimumya daha da yaklaştıracaktır.

Bu dışbükey olmayan durumda böyle değil. Burada, küresel bir minimum olabilir, ancak yerel bir iniş algoritmasının daima çizileceği birkaç yerel minimum, aynı şekilde NP problemlerine uygulandığında açgözlü algoritmalar yapar. Bazen gerçek anlamda optimum olanı bulurlar, çoğu zaman değil.

— Benjamin Lindqvist
kaynak

23

Kısa cevap: Çünkü Booleans'ı SAT için simüle etmek için Integers'ı kullanabilirsiniz , ancak kendinizi bununla sınırlamadığınızda, aslında SAT'ı simüle edemezsiniz. Uygun bir cevap alırsınız, ancak simüle etmeye çalıştığınız her hangi bir SAT örneği açısından hiçbir anlamı yoktur.

Bunun zor cevabı, aynı karmaşıklık sınıfında olmadıklarını bilmememizdir. Kimsenin olduğuna dair bir kanıtı yok . Sorunların neden bu kadar farklı olduğuna dair daha derin nedenleri anladıysak, bu karmaşıklık sınıflarının neden farklı olduğunu anlamamızı gerektiriyordu; $P \neq NP$

— jmite
kaynak

21

Doğrusal programlamanın "verimli" olmasının nedeni, çözüm alanının tek bir dışbükey polihedron ile temsil edilebiliyor olmasıdır. Eğer biri o polihedron üzerinde "en yüksek" tepe noktasını bulmaya çalışıyorsa (biri "yükseklik" in maksimize edilecek miktara tekabül etmesi için herhangi bir doğrusal programlama problemine doğrusal bir dönüşüm uygulayabilir), o zaman herhangi bir tepe noktasından bir kenar boyunca ilerleyebilir "yokuş aşağı" gitmek zorunda kalmadan en yüksek nokta. Tamsayılı programlamayı "zor" yapan şey, sürekli bir çözüm alanı olmadığı, bunun yerine birçok ayrık çözüm alanı olmadığı ve optimal bir çözüme doğru adım adım çalışmanın bir yolu olmadığıdır.

— SuperCat
kaynak

2

Buradaki anahtar kelime "dışbükey"

— cody

1

Bu tepe, en kötü durumda polinom olmadığı bilinen hiçbir varyantı olmayan simpleks yöntemine tırmanmıyor mu?

— jbapple

1

Ayrık alanlarda (ayrık aramalara izin veren) sürekli uzayda olduğundan daha kolay çözülmesi gereken birçok sorun vardır.

— Raphael

@Raphael: Bu tür problemlerden bazı örnekler verebilir misiniz? Bunu düşünüyordum ve pek çoğunu bulamıyorum.

— cody

@cody Örneğin (bir boyutlu) fonksiyonların maxima / minima'sını bulma. Sonlu arama alanını sonlu olana indirgeyebileceğimizi belirttikten sonra uygun hale gelen sevimli bir örnek için buraya bakın . LP'lerin bu şekilde özel olduğuna dikkat edin: Sadece bir polihedronun köşelerini düşünmemiz gerektiğine dikkat ederek sınırlı bir arama alanı elde ederiz. Genel olarak, sürekli bir alan , kaba bir kuvvet olmadığı (ve onu hızlandırmak için zekice buluşmaların olmadığı) anlamına gelir .

— Raphael

3

Diğer cevaplar doğru, ama onları biraz teknik buluyorum. Bir matrisi taradığınızı (ortadan kaldırdığınızı) ve herhangi bir çözüm aradığınızı varsayalım ve matris şöyle görünür:

column x1 x2 x3 x4 x5 x6 | solution
-----------------------------------
       1           1  1  | 3
          1              | 1
             1     1     | 2
                2  1  1  | 1

$Q$

— Albert Hendriks
kaynak