En ağır düzlemsel alt çizgi

Aşağıdaki sorunu düşünün.

Verilen: Kenarlarda negatif olmayan gerçek ağırlıklara sahip eksiksiz bir grafik.

Görev: Maksimum ağırlıktaki düzlemsel bir alt çizgi bulun. (Olası tüm düzlemsel alt noktalar arasında "Maksimum".)

Not: Maksimum ağırlık alt grafiği bir üçgenleme olacaktır; grafiğin tamamı köşede ise, kenarları olacaktır.$n$$m=3n-6$

Soru: Bu sorun için mevcut en iyi algoritma nedir? Zaman karmaşıklığı nedir?

Ağırlıklı tam grafikler için bile NP zordur. Kolay bir algoritma için, maksimum ağırlıktaki bir yayılan ağacı hesaplayabilirsiniz: kenar ağırlıklarını ortadan kaldırın ve Kruskal'ın algoritmasını çalıştırın. Bu size 1/3 performans oranı verir (yayılan bir ağacın kenarları vardır ve not ettiğiniz gibi maksimum düzlemsel alt çizgi en fazla kenar içerebilir ). Bildiğim kadarıyla, [1] 'deki performans oranı en az 25/72 ve en fazla 5/12 olan algoritma üzerinde önemli ölçüde geliştirilmemiştir (ancak daha yeni makalelere referansta bulunduğunu görün).$n-1$$3n-6$

Kenar ağırlıkları üçgen eşitsizliğine uyan tam grafikler için [1] 'deki algoritmanın performans oranı en az 3/8'dir. Bence algoritma oldukça ilgili ve genel grafikler üzerinde zamanında çalıştırılabilir. Farklı performans oranları ve muhtemelen daha iyi çalışma süreleri ile yazarların sunduğu bazı daha basit varyantlar vardır.$O(m^{3/2}n \log^6 n)$

[1] Calinescu, G., Fernandes, CG, Karloff, H. ve Zelikovsky, A. (2003). Ağır düzlemsel alt diyagramları bulmak için yeni bir yaklaşım algoritması. Algoritmik, 36 (2), 179-205.