Karp-Lipton teoreminin kanıtı

"Hesaplamalı Karmaşıklık: Modern bir yaklaşım" (2009) kitabında belirtildiği gibi Karp-Lipton teoreminin kanıtını anlamaya çalışıyorum.

Özellikle, bu kitap aşağıdakileri belirtir:

Karp-Lipton teoremi

Eğer NP , daha sonra pH . $\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

Korumalı: teoreminin 5.4 ile göstermek için pH , göstermek için yeterli olduğunu ve göstermek için yeterli, özellikle içeren -Komple dil SAT. $= \Sigma^p_2$ $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma^p_2$ $\Pi^p_2$ $\Pi_2$

Teorem 5.4,

her , eğer sonra PH = . Yani, hiyerarşi i. Seviyeye çöker. $i \geq 1$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p$

Ben anlamak için başarısız am ima . $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

Daha genel bir soru olarak: bu her için geçerli , yani ima tüm mi? $i$ $\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ $i \geq 1$

complexity-theory complexity-classes

— WardL
kaynak

Bir süre sonra, doğru hatırlıyorsam, belirsiz bir açıklamaya geldik: "Eğer , o zaman bir formülü niceleyiciler biz bir formül dönüştürmek için kullanabilir formunun şeklinde birine , hiyerarşiyi argümanı tamamen anladığımdan emin değilim

Π_{2}^{p} \subseteq Σ_{2}^{p}

$\Pi_2^p \subseteq \Sigma_2^p$

\forall . . . \exists

$\forall ... \exists$

\exists . . . \forall

$\exists ... \forall$

Σ_{3}^{p}

$\Sigma_3^p$

\exists . . . \forall . . . \exists

$\exists ... \forall ... \exists$

\exists . . . \exists . . . \forall

$\exists... \exists... \forall$

Σ_{2}^{p}

$\Sigma_2^p$

— WardL

başka bir öneri / fikir, matematik ifadeleri alt kümeye katılım ve eşitlik arasında geçiş yapar (bunu karmaşıklık teorisinde yaygın olarak kabul edin). biri ya da diğeri üzerine yapışıp kalmanın / yeniden biçimlendirmenin bir yolu var mı? fyi Karp-Lipton thm / wikipedia

— vzn

Hatırlatma; IFF . Şimdi olduğunu varsayalım ve olsun . Sonra ve böylece varsayımla, olduğunu ima eder . Başka bir deyişle, , vb. . $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$ $L \in \Pi_i^p$ $\bar{L} \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $L \in \Sigma_i^p$ $\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$

iff neden budur . Somutluk için alırız . Tanım olarak , bazı P-zaman yüklem için , Benzer şekilde , bir P-süresi yüklemi için , Bununla birlikte, bu iki ifade, de Morgan'ın yasalarının basit bir şekilde çağrıldığı gibi, P'nin tamamlama altında kapalı olduğu gerçeğiyle eşdeğerdir ( $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $i = 3$ $L \in \Sigma_3^p$ $T$

x \in L \Leftrightarrow \exists | y | < | x |^{O (1)} \forall | z | < | x |^{O (1)} \exists | w | < | x |^{O (1)} T (x, y, z, w) .

$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$

\bar{L} \in Π_{3}^{p}

$\bar{L} \in \Pi_3^p$

S

$S$

x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall | y | < | x |^{O (1)} \exists | z | < | x |^{O (1)} \forall | w | < | x |^{O (1)} S (x, y, z, w) .

$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$

S = \neg T

$S = \lnot T$ ).

— Yuval Filmus
kaynak