Genelleştirilmiş XOR-SAT verimli bir şekilde çözülebilir mi?

12

XOR-3-SAT'ın nasıl verimli bir şekilde çözülebildiğini gördüm (örneğin, Boole doygunluğu sorunu için Wikipedia girişindeki "XOR-satisfiability" bölümüne bakın ).

Temel bir soruyu merak ediyorum: XOR-k-SAT, madde başına değişen miktarlarda formül içeren formüller için verimli bir şekilde çözülebilir mi?

Gerçekten, madde başına değişmez miktarları 3'ten fazla artırabilir miyiz ve karışık cümle uzunluklarına sahip olup olamayacağımızı bilmek istiyorum.

complexity-theory satisfiability

— Matt Groff
kaynak

2

Hangi araştırmayı yaptınız? Sizden önce sormadan önce kendi başınıza ciddi bir çaba göstermenizi ve hangi araştırmayı yaptığınızı ve ne denediğinizi bize göstermenizi bekliyoruz. Wikipedia, XOR-3-SAT'ı çözme algoritmasının Gauss eliminasyonu olduğunu belirtiyor. Bunun nasıl çalıştığını anlamak ve XOR-k-SAT için geçerli olup olmadığını görmek için bir girişimde bulundunuz mu?

— DW

@DW Üzerinde çok fazla araştırma yapmadığımı itiraf ediyorum. Gauss eliminasyonundan söz ettim ve bunun genel XOR-SAT için işe yarayacağını düşündüm. Ama sanırım onay bekliyordum. Umarım tembelliklerimi affedersin. Böyle sorular sormadan önce gelecekte daha fazla araştırma yapmaya çalışacağım.

— Matt Groff

11

Bağlandığınız Wikipedia makalesi, XORSAT'ın (sadece 3-XORSAT değil) P'de olduğunu söylüyor. Örneklerindeki 3-XORSAT formülünü kolayca çözme yöntemi, cümlelerin keyfi olarak sahip olabileceği formüllere genelleşiyor çok sayıda değişken ve farklı sayıda değişken.

Formüle, her bir yan tümce için bir denklemin ve her değişken için bir değişkenin bulunduğu doğrusal denklemler sistemi olarak bakın. Örneğin, formül:

(x_{1} \oplus x_{2} \oplus \neg x_{3} \oplus x_{5}) \land (x_{2} \oplus x_{3})

$(x_1\oplus x_2\oplus\lnot x_3\oplus x_5)\land (x_2\oplus x_3)$

ancak aşağıdaki denklem sisteminin bir çözümü varsa tatmin edici bir ödeve sahiptir:

x_{1} + x_{2} + (1 + x_{3}) + x_{5} \equiv 1 \mod 2

$x_1+x_2+(1+x_3)+x_5\equiv 1 \mod 2$

x_{2} + x_{3} \equiv 1 \mod 2

$x_2+x_3\equiv 1 \mod 2$

Ve Gauss elemesini kullanarak polinom zamanında bu gibi doğrusal denklem sistemlerine çözümler bulabiliriz!

— Dylan McKay
kaynak

6

Evet. Gauss eliminasyonu ile çözülebilir. Gauss eliminasyonu, doğrusal modülo olan herhangi bir denklem sistemini çözebilir. XOR, ilave modülo 2 olarak işlev görür, bu nedenle her XOR-SAT yantümcesi bir doğrusal denklem modülo 2 olarak işlev görür. Sonuç olarak, Gauss eliminasyonu, değişen sayıda değişmez sayı olsa bile herhangi bir XOR-k-SAT formülünü veya herhangi bir XOR-SAT formülünü çözebilir. cümle veya karışık cümle uzunluklarına göre, polinom zamanda.

— DW
kaynak