Galois teoreminin karmaşıklık bakış açısı var mı?

Galois'in teoremi, katsayıların ve radikallerin rasyonel işlevlerini kullanarak derece = polinom derecesinin köklerini ifade edemediğini söyler - bu, polinom verildiğinde kökleri bulmak için deterministik bir algoritma olmadığı söylenemez mi?
Şimdi, "Gerçek köklü bir polinom ve k sayısı verildiğinde, en azından k boşluğunda üçüncü ve dördüncü en yüksek kökü olduğu " şeklinde bir karar sorusunu düşünün. $p$ $p$

Bu karar sorusu için bir kanıt belgesi sadece bu polinomun kökleri kümesi olacaktır ve bu kısa bir sertifikadır ve bu nedenle AMA Galois teoremi gibi görünmemektedir, bu karar için bir sertifika bulmak için herhangi bir deterministik algoritma olmadığını söyler soru? (ve true, bu sorunun cevabına karar vermek için herhangi bir algoritmayı devre dışı bırakırsa bu özellik) $NP$

Peki bu karar sorusu hangi karmaşıklık sınıfında yatmaktadır?

Gördüğüm tüm NP-eksiksiz sorular her zaman bunları çözmek için önemsiz bir üstel zaman algoritmasına sahiptir. Bunun tüm NP-tam sorular için her zaman doğru olması gereken bir özellik olması bekleniyor mu bilmiyorum. Bu karar sorusu için bu doğru görünmüyor.

complexity-theory np-complete np polynomials

— user6818
kaynak

Kökler bir sertifikadır ancak benim için kısa bir sertifika oldukları açık değildir (yani, her polinom için köklerini

bitlerinde yazabileceğiniz sabit bir

olduğu, burada

polinomu yazmak için gereken bit sayısıdır). Ancak bir NP algoritması varsa, önemsiz bir üstel zaman algoritması vardır: sadece tüm potansiyel sertifikaları numaralandırın ve bunlardan herhangi birinin çalışıp çalışmadığına bakın.

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n

$n$

— David Richerby

Birkaç yorum: (1)

kökleri

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x_{i}

$\sum_{i=0}^n a_i x_i$ en fazla

max (1, \sum_{i = 0}^{n - 1} | a_{i} | / | a_{n} |)

$\max(1,\sum_{i=0}^{n-1} |a_i|/|a_n|)$ . (2) Sağlam diziler, bir polinomun köklerini izole etmek için kullanılabilir. (3) Tam olarak

mesafede iki kök olup olmadığını

k

$k$ ve eğer öyleyse,

p (x)

$p(x)$ ve

nın GCD'sini hesaplayarak kontrol edebiliriz

p (x + k)

$p(x+k)$ .

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Yukarıdaki fikirlerden herhangi biri yukarıdaki karar sorusuna karar vermek için kullanılabilir mi? Bu soruya polinom zamanda karar verilip verilmeyeceği belli değil mi?

— user6818

Galois'in teoremi, katsayıların ve radikallerin rasyonel fonksiyonlarını kullanarak derece = bir polinomun köklerini ifade edemediğini söyler - bu, polinom verildiğinde kökleri bulmak için deterministik bir algoritmanın olmadığı söylenemez mi? " Hayır, çünkü polinom zaman algoritmaları rasyonel fonksiyonlardan daha güçlüdür. Örneğin, vakaları bölebilir, yineleyebilir, diziler oluşturabilir ve üzerlerinde döngü oluşturabilirler.

— sdcvvc

Teorem belirli bir hesaplama modeli ile ilgilidir - radikallerin rasyonel işlevleri. Modeli değiştirirseniz, artık geçerli değildir. Örneğin, MathWorld mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html 'ye göre 5. derece denklemini Jacobi teta fonksiyonlarını kullanarak çözmek mümkündür. 0.01 (veya herhangi bir ) içinde kökü döndüren bir algoritma ile , Galois teoremi artık yöntemi diskalifiye etmeyecektir, çünkü herhangi bir sayı rasyonel olarak tahmin edilebilir.

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

— sdcvvc

Yanıtlar:

Bununla birlikte, ilginç bir bağlantı olan Galois teorisi , problemin süper polinom zamanı gerektirebilecek bir çözümü (örneğin en uzun yol) olduğunu söylemek yerine radikalleri kullanarak quintic köklerini bulmak için (tutarlı) bir yöntemin mevcut olmadığını belirtir . Bu yüzden karmaşıklıktan ziyade kararsızlıkla daha ilgili olduğunu söyleyebilirim.

Özellikle, Galois teorisinde, aşamalı olarak denklemin köklerinin grup uzantılarını adım adım (derhal bir kök ekleyerek) oluşturur. Ve tüm bu gruplar çözülebilir olmalı, bir anlamda bu uzantıları başka bir sırayla inşa etme sürecinde herhangi bir belirsizlik olmamalıdır. MO ile ilgili bir denklemin Galois grubunu oluşturmanın karmaşıklığı ile ilgili bir soru vardır .

Burada bir başka referans "HESAPLAMALI GALOİS TEORİSİ: ÜZERİNDEKİ ORTAMLAR VE HESAPLAMALAR ", CLAUS FIEKER JURGEN KLUNERS $\mathbb{Q}$

Ayrıca sistematik olarak, denklemin Galois grup (lar) ının inşasına dayanan radikaller (denklem radikaller kullanılarak çözülebilir olduğunda) kullanan bir polinom euqation'ın köklerini temsil edebilir . Ref: "Polinom Köklerinin Radikal Temsili", Hirokazu Anai Kazuhiro Yokoyama 2002

tamsayıları üzerinde belirli bir monik indirgenemez polinomun radikaller tarafından çözülüp çözülmediğini belirlemenin hesaplama karmaşıklığı Ref "Radikallerin Çözülebilirliği Polinom Zamanında mı", S. Landau GL Miller 1984 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{P}$

Yakın tarihli "Galois Gruplarının Hesaplanması için Teknikler" araştırması , Alexander Hulpke

Tabii ki iyi yaklaşım algoritmaları ve karmaşıklıkları (örneğin Newton'un yöntemi veya Sturm Teoremi) arıyorsa, bu biraz farklı bir sorudur ve önceden gönderilen cevap bu yönde daha fazla bilgi sağlar.

— Nikos M.
kaynak

Teşekkürler! Yanlışlıkla kendime çok heyecan verici bir soru sordum!

— user6818

@ user6818, teşekkürler daha fazla bilgi ve diğer referanslar ile güncellenmiş cevap

— Nikos M.

Tamsayı katsayıları olan polinomları düşündüğünüzü düşünüyorum .

Araştırmalarınız için yanlış başlangıç noktasını aldınız; amacınız gerçek kökler için iyi tahminler bulmaktır . Cebirsel bir formül aramak, onu yeterince hassas bir şekilde değerlendirebilmeniz için yapabileceğiniz bir şeydir, ancak burada gerçekten doğru olan şey değildir. (tabii ki, " kbir polinomun en büyük gerçek kökü" cebirsel işlemlerinizden biri olmadığı sürece )

Çok daha iyi bir başlangıç noktası, polinomun köklerini izole etmek için Sturm teoremini kullanmaktır . Daha sonra ikili arama ile daha iyi tahminler üretebilirsiniz, ancak bu çok yavaşsa, yüksek hassasiyetli tahminleri hızlı bir şekilde üretmek için Newton'un yöntemini kullanabilirsiniz .

Ama bu sadece sertifika bulmakla ilgili . Hala hangi sertifikaların var olabileceği sorusu var.

Öncelikle, köklerin ikisinin tam olarak birimi olduğunu, örneğin hesaplayarak doğrudan hesaplayabileceğinizi göstereceğim . Ayrıca, tekrarlanan kökler hakkında ne yapmak istediğinize karar vermeniz ve uygun şekilde ilgilenmeniz gerekir. Bu dava ile özel olarak ilgileneceğinizi düşünüyorum. $k$ $\gcd(p(x), p(x-k))$

İki kökleri vardır biliyorsanız değil tam , ayrı birimler onlar ya daha az ya da daha olduğunu kanıtlamak için yeterli hassasiyetle bir tahmin üretebilir araçlarının apart üniteler. örneğin iki çeşit sertifika vardır: $k$ $k$

İlk tür (negatifin kanıtı)

, kökü değildir $a$ $p$
kökü yoktur $p$ $(a-k, a)$
üç kökü vardır $p$ $(a, \infty)$

İkinci tür (olumlu kanıt)

, kökü değildir $a$ $p$
en az iki kökü vardır $p$ $(a-k,a)$
iki kökü vardır $p$ $(a, \infty)$

Bir sertifika Sturm teoremi kullanılarak doğrulanabilir. Şimdi, bir sertifikanın boyutu hakkında soru hassasiyet kaç bitinin temsil etmeye gerek nasıl bulmak olarak özetlenebilir . $a$

Başka bir deyişle, olası değerleri üzerindeki sınırlar nelerdir , burada köküdür ? $a-b-k$ $a,b$ $f$

Harika bir yaklaşımdan emin değilim, ama size bir şey vermesi gereken şey, tüm bu değerlerin polinomun kökleri olduğunu gözlemlemektir:

g (x) = {Res}_{y} (f (y), f (x + y + k))

$g(x) = \mathop{\text{Res}_y}(f(y), f(x + y + k))$

Neden? İki monik polinomun sonuçlarının köklerindeki tüm farklılıkların ürünü olduğunu hatırlayın, bu yüzden

g (x) = c^{d^{2}} \prod_{a, b} (b - (a - x - k)) = \prod_{a, b} (x - (a - b - k))

$g(x) = c^{d^2} \prod_{a,b}(b - (a - x - k)) = \prod_{a,b} (x - (a-b-k))$

burada , baş katsayısı ve , derecesidir . (belki formülünü yazdım yerine ; ı tabelada emin değilim) $c$ $d$ $f$ $-g(x)$ $g(x)$

Dolayısıyla soru, katsayılarının ne kadar büyük olabileceğine dair tahminler bulmak ve sonra bunu öğrendikten sonra, kökünün sıfıra ne kadar yakın olabileceğine dair tahminler bulmaktır . $g$ $g$

(veya alternatif olarak, ters polinomunun bir kökünün sahip olabileceği en büyük büyüklüğü bulun ; ters polinomun kökleri köklerinin tersidir ) $g$ $g$

Burada veri gösterimi ile ilgili herhangi bir sorun var mı? NP temelde Turing makineleriyle ilgilidir ve bunun gerçek sayılarla veya yeterli hassasiyet gerekçelerini yazmak için gerekli bit sayısı ile nasıl ilişkili olduğu hemen belli değildir. (Çok yapıcı olmadığım için özür dilerim: Bunun bir sorun olabileceğini bilmek için yeterli olduğunu biliyorum, ancak gerçekten bir sorun olup olmadığını veya eğer varsa, nasıl çözüleceğini bilmek için yeterli değil.)

— David Richerby

@DavidRicherby: Girdilerin aslında sadece ikili olarak yazılan polinomun katsayıları olduğunu varsayıyorum ve benim beklediğim şey,

ikiliyi temsil etmeniz gereken bit sayısının, bit sayısının polinom fonksiyonu ile sınırlı olacağıdır. giriş. İki parametreyi kullanırsanız, giriş bit sayısı ve polinomun derecesi, o zaman için gereken bit sayısı neredeyse kesin olduğum

giriş bit sayısında polinom olacak, ama ben daha az değilim tam olarak dereceye bağlı olacağından emin olabilirsiniz.

a

$a$

a

$a$

Katsayıların bir listesi olarak girdi mükemmel bir anlam ifade eder. Ancak kökleri temsil etmek için gereken hassasiyetle ilgili varsayımlarınızın mutlaka kontrol edilmesi gerekir. Örneğin, Hilbert'in onuncu probleminin (Diophantine denklemlerini çözme) kararsız olmasının nedeni, çözümün uzunluğunu girişin uzunluğu açısından bağlayamamanızdır. Burada doğrudan geçerli değil, çünkü sadece bir değişkenimiz var ve tamsayı çözümler aramıyoruz, ancak sınırlılık varsayımı hakkında oldukça büyük bir soru soruyor.

— David Richerby

@David: Gerçek kapalı alanlar teorisi sayı teorisinden önemli ölçüde farklıdır; biri hakkındaki sezgi gerçekten diğerine iyi tercüme edilmez.

Ya iki kök

veya ayrı

? Yeterli kesinlik tahmini yapmak zor olabilir.

k + 2^{- 2^{2^{n}}}

$k+2^{-2^{2^n}}$

k - 2^{- 2^{2^{n}}}

$k-2^{-2^{2^n}}$

— Yuval Filmus

çoğunlukla açık uçlu olarak sorularınızı alacağım. şimdi Abel-Ruffini thm olarak bilinen galois kanıtı , polinom çözeltilerinin kintiklere imkansızlığını göstermektedir. (örneğin ikinci dereceden denklemin aksine). yani bu aslında bir sorunun sertliği değil, imkansızlığıdır . bu anlamda, örneğin durma sorununun kararsızlığının bir kanıtı olarak daha benzerdir. karmaşıklık teorisi genel olarak bilgi işlem çözümlerinin "maliyeti" ile ilgilidir. aşağıdaki makalenin giriş bölümünde yer alan iki önde gelen CS araştırmacısının bakış açısıdır ( Hesaplanabilirlik ve Karmaşıklık / Kleinberg & Papadimitriou), bölüm 1 Quintic Formül Arayışı:

Birkaç yüzyıldır güvenli bir mesafeden bakıldığında, hikaye açıkça birleşme ile ilgilidir ve hesaplamayı modellemek için daha sonraki çabalarda ortaya çıkan birçok önemli bileşeni içerir: Sezgisel olarak anladığımız bir hesaplama sürecine gireriz (bir denklemi çözeriz) , bu durumda), hassas bir model formüle edin ve modelden, işlemin hesaplama gücü hakkında oldukça beklenmedik sonuçlar doğurur. Genel olarak hesaplamaya uygulamak istediğimiz tam da bu yaklaşımdır.

başka bir gevşek / genel benzerlik P olduğunu olabilir NP dayanıklı (veya başka bir karmaşıklık sınıfı ayırma) biraz Abel-Ruffini'nin THM gibi bir hesaplama olanaksızlığı nedeniyle benzer. bir ayrım sonucu kabaca belirli bir türdeki problemlerin başka bir türdeki "hesaplama kaynakları" ile çözülemeyeceğini söyler. bir P NP teoremi (anıtsal) bir hesaplama imkansızlığı sonucu olarak görülecektir. $\neq$ $\neq$

— vzn
kaynak

Durma sorununun iyi bir benzetme olduğundan emin değilim, çünkü “cevabı hesaplayamazsınız” yerine “cevabı hesaplayamazsınız” çizgisinde daha fazla.

Galois teoremi, Durdurma problemi gibi bir hesaplama imkansızlığı sonucu değil midir?

— user6818