XOR-ilişkileri NP ile 2-SAT tamamlandı mı?

11

"XOR-ilişkileri ile 2-SAT" için bir polinom algoritması olup olmadığını merak ediyorum. Hem 2-SAT hem de XOR-SAT P cinsindendir, ancak kombinasyonu nedir?

Örnek Giriş:

2-SAT parçası: (a or !b) and (b or c) and (b or d)
XOR kısmı: (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

Başka bir deyişle, girdi aşağıdaki boole formülüdür:

(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d) .

$(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d).$

Örnek Çıktı: Memnun edilebilir: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0.

Hem 2-SAT yan tümcesi sayısı hem de girişteki XOR yan tümcesi sayısı ; burada , boole değişkenlerinin sayısıdır. $O(n)$ $n$

— Albert Hendriks
kaynak

1

bu sorun bir hedef vektörüne eşit olması için oldukça yakın, bitsel vektör veya cstheory.se

— vzn

11

XOR ile 2-SAT ilişkilerinin, 3-SAT'dan indirgeme ile NP-tamamlanmış olduğu kanıtlanabilir. Herhangi bir 3-SAT yan tümcesi , eşitlenebilir 2-SAT-XOR-ilişkileri ifadesine ile ve , yeni değişkenler olarak.

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

(x_{1} \lor \bar{y}) \land (y \oplus x_{2} \oplus z) \land (\bar{z} \lor x_{3})

$(x_1 \lor \overline{y}) \land (y \oplus x_2 \oplus z) \land (\overline{z} \lor x_3)$

y

$y$

z

$z$

— Kyle Jones
kaynak

Tüm cevaplar doğru veya yardımcı gibi görünüyor, ama bunu en zarif buluyorum (imho).

— Albert Hendriks

1

Güzel cevap. Burada sadece eşitlenebilirliğin yeterli olmayacağını belirtmek gerekebilir (çünkü tatmin edici bir CNF'nin tüm maddelerine karşılık gelen ifadelerin tatmin edici ödevleri eşleşmeyebilir), ancak yeniden yazılan ifadeniz aslında her tatmin edici ödev için karşılık gelen tatmin edici bir ödeve sahiptir. orijinal fıkra.

— Klaus Draeger

7

Eğer XOR ilişkilerinin Arity belirtilmemiş, ancak her zamanki SAT-to-3SAT azalma olduğu gibi, her zaman onların Arity Uygulamak harika konumda Şimdi en fazla 3 olmasını sağlayabilir Schaefer'ın ikilik teoremi hangi edecek, probleminizin P veya NP-tamamlanmış olup olmadığını söyleyelim (bunlar sadece iki seçenektir). P'de olduğu ortaya çıkarsa, bir sonraki adım Allender ve ark. , bu da sorunun ne kadar kolay olduğunu size bildirir.

— Yuval Filmus
kaynak

O (n)

$O(n)$

5

By Schaefer'ın ikiliği teoremi , bu NP-tamamlandı.

$\Gamma$ $R(x,y,z)$ $x \lor y$ $x \lor \neg y$ $\neg x \lor \neg y$ $x \oplus y \oplus z$ $x \oplus y \oplus \neg z$

Şimdi Schaefer'in ikilik teoremini modern haliyle uygulayın . Bir polimorfizm olup olmadığını görmek için altı işlemin her birini kontrol edin:

$x \lor y$
$\neg x \lor \neg y$
$x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
$\neg x \lor \neg y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$
$x \oplus y \oplus z$ $(0,0,1)$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
$x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$ $(0,0,0)$

Tüm XOR yan tümcelerini en fazla 3 olacak şekilde kısıtlasanız bile bu sorunun NP-tamamlanmış olduğu sonucuna varılır.

$(x \oplus y)$ $(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$

— DW
kaynak