Schaefer teoremi neden P = NP'yi kanıtlamıyor?

Bu muhtemelen aptalca bir soru, ama anlamıyorum. Başka bir soruda Schaefer'in ikilik teoremini ortaya attılar . Bana göre, her CSP sorununun P veya NP-tamamında olduğunu kanıtlıyor gibi görünüyor, ancak ikisi arasında değil. Her NP problemi Polinom zamanında CSP'ye dönüştürülebildiğinden (CSP NP-tamamlanmış olduğundan), bu neden P ve NP-Complete arasında boşluk olmadığını ve P = NP olduğunu kanıtlamıyor?

Örneğin düşüncelerim şöyle gider: Tamsayı çarpanlara ayırma bir tatmin edilebilirlik problemi olarak yeniden yazılabilir, bu nedenle Schaefer teoremini kullanarak ya P ya da NP-tam olmalı, ancak aralarında olmamalıdır (hangisinin olduğunu bulamasak bile).

Tüm soruya bakmanın farklı bir yolu: Tam sayı çarpanlarına ayırmanın P veya NP-tamamında olup olmadığına karar vermek için neden Schaefer teoremini kullanamıyoruz?

EDIT: David Richerby'nin cevabına yanıt olarak (bir yorum için çok uzun):

İlginç, ama henüz tam olarak anlamıyorum. Schaefer teoremini kullanırken ilişki gamasını tanımlarken, buna kısıtlamalar getirebiliriz. Örneğin, gama sadece arity 2 ilişkilerini kullanmakla sınırlanabilir (o zaman sorun P'dir). Gammaya ne tür kısıtlamalar getirebiliriz?

Neden tüm CSP (gama) örneklerinin (izomorfik?) L ile tamamen aynı olduğu konusunda bu tür kısıtlamalar getiremeyiz? Örneğin, düzensiz sayılar için tamsayı çarpanlara ayırma işlemi yaparken, iki bölenlerden biri xn .. x3 x2 1 olarak temsil edilen ikili sayıdır. Şimdi, bu sayının 1'den büyük olmasını istiyorum. Yani, ilişkim var (xn veya .. veya x3 veya x2). Yani diyorum ki gama bir veya n-1 arity ilişkisine sahip olabilir. Ama bu ya da ilişkinin dilde L'den başka örnekleri içermek için kullanılmasını istemiyorum, bu yüzden or-ilişkide x2..xn'nin bir olumsuzlama yapmasına izin verilmediğini dayatırım. Tabii ki, orada sadece belirli değişkenlerin kullanıldığı kısıtlamasını da uygulamam gerekiyor.

Bu şekilde CSP'nin (gama) tamsayı çarpanlarına ayırma izomorfik olmasını sağlamak mümkün değil mi? Ana soru şudur: gammaya ne tür kısıtlamalar getirebiliriz?

DÜZENLEME 2: Yuval Filmus'un cevabına yanıt olarak.

Cevabınızı anlıyorum ve David'in cevabı ile aynı olsa da doğru görünüyor. Örneğin, çarpanlara ayırmayı 3 sat'a indirebilir ve çarpanlaştırmanın NP tam olduğu sonucuna varabiliriz, bu yanlıştır çünkü 3-sat'ın çarpanlara ayırma olasılığı olmayan başka örnekleri de vardır.

Anlamadığım kısım, bir örneğin keyfi olmadığı zamandır. Örneğin, 2-SAT da benim için keyfi görünmüyor, çünkü sadece arity 2 maddelerine izin veriliyor (ancak kanıtın hala bir üst sınır olduğu ve bu durumda üst sınır P olduğu için geçerli olduğunu itiraf etmeliyim).

Belki de daha iyi bir örnek NP tamlıktır: yukarıda bağlantılı soru. Bir cevap, tam bir Schaefer kanıtı verir. Ancak, girdiye önemsiz kısıtlamalar getiriyorum (2-SAT cümlelerine izin verilir ve xor cümleleri, ancak başka bir şey yok). Tabii ki, kanıt hala geçerli çünkü kanıtta dikkate alınan CSP sorunları orijinaliyle aynıdır.

Anlamadığım kısım faktorizasyon için neden benzer yapamıyoruz? Tabii ki bunu 3-SAT'a düşürmenin bir faydası yok, ancak bir sayıyı çarpanlarına ayırıp yalnızca bir sayıyı çarpanlarına ayırmaya yarayan CSP örneğini vermeme izin verin (4 bit). (bunun mümkün olduğuna inanıyorsanız KAYDETİM SONU'na atlayın).

Çarpanlara ayırma örneği.

GİRİŞ:

(N =) (çarpanlara ayırmak için sayının 4 biti) (M =) (ilk minimum değerinin 4 biti) $n_4n_3n_2n_1$
$m_4m_3m_2m_1$

Şimdi bunu CSP örneğine dönüştürelim

INPUT: ve
için tekli alan adları (N ve M'nin verildiğini temsil eder)$n_5..n_1$$m_5..m_1$

etki alanı {0,1} olan değişkenler:
(D =) (ilk bölen) (E =) (ikinci bölen)$d_4d_3d_2d_1$
$e_4e_3e_2e_1$

ilişkiler:

$e_4 \lor e_3 \lor e_2$ (E> 1'i temsil eder)

$(d_4 \land \neg m_4) \lor (d_4=m_4 \land d_3 \land \neg m_3) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2 \land \neg m_2) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2=m_2 \land d_1 \land \neg m_1)$
(D> M'yi temsil eder)

( d 1 ∧ e 2$d_1 \land e_1 = n_1$ (en az anlamlı bit çarpımını temsil eder) (sonraki bit çarpımını temsil eder)
$(d_1 \land e_2) \oplus (d_2 \land e_1) = n_2$
$n_3 = ... ; n_4 = ...$

SONU ATLAMA

Temel nokta, Schaefer teoremini uygularken, sadece bu CSP'leri düşünmemiz gerekir . (Tıpkı 2-SAT gibi, sadece arity 2'li CSP'leri düşünüyoruz). Bunu yaparken, altı polimorfizmden biri tutar ya da tutmaz (küme teorisinde bazı tuhaflıkları kurtarmaz). Her iki durumda da, çarpanlara ayırma NP-ara maddesi değildir.

Bu, 3-SAT için de yapılabilir. Ardından, yalnızca (azaltma kullanarak) çarpanlara ayırma örneklerini temsil eden (artık 3-SAT olmayan) 3-SAT örneklerini dikkate almalıyız.

Nerede yanlış yaparım?

Rasgele bir NP problemi  yi CSP'ye çevirdiğinizde , bazı kısıtlama diliyle (ilişkiler kümesi) içeren bazı örneklerle sonuçlanırsınız  . Schaeffer'in teoreminin söylediği, tüm CSP ( ) örneklerine karar vermenin P ya da NP-tamamlanmış olmasıdır . Ancak, yalnızca bazı kısıtlı örnek kümelerine karar vermeniz gerekiyorsa (örneğin, sorununu çevirerek elde ettiğiniz örnekler  ), daha kolay olabilir. Özellikle, NP ara-madde  ise , karşılık gelen CSP ( ) örneklerinin çözülmesi de NP olacaktır.Γ Γ L L Γ L $L$$\Gamma$$\Gamma$$L$$L$$\Gamma$-termediate - örnekleri sadece örneklerine çevirebilir  ve orada çözebilirsiniz. Ancak tüm CSP ( ) örneklerinin sınıfını çözmek NP-tamamlanmış olacaktır .$L$$\Gamma$

Schaefer teoremi çok özel bir durumu kapsar: Sonlu bir küme ilişkileri verilir ve karmaşıklığıyla ilgilenirsiniz . Schaefer teoremi size bu sorunun NP-tam mı yoksa P mi olduğuna karar vermek için bir algoritma verir.C S P ( Γ $\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

Tamsayı çarpanlara ayırma gibi bir sorunu bir CSP'ye çevirdiğinizde , NP-tam olacak şekilde bir dizi küme kullanırsınız (bu, tamsayı çarpanlaştırmanın P ). Ancak örnekleriniz keyfi değildir, bu nedenle Schaefer teoremi sadece karmaşıklık konusunda bir üst sınır verir. Tamsayı çarpanlara ayırmanın aslında NP-tam olmaması olabilir.C S P ( Γ $\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$