Mandelbrot hangi anlamda “hesaplanabilir”?

Mandelbrot kümesi Matematik güzel yaratıktır.

Bu setin yüksek hassasiyetle oluşturulmuş çok güzel görüntüleri var, bu yüzden bu set bir anlamda "hesaplanabilir".

Bununla birlikte, beni ilgilendiren şey, sadece setin sayılamadığı için özyinelemeli olarak bile numaralandırılamamasıdır. Bu, noktaların bir tür sonlu temsilini gerektirerek çözülebilir.

Dahası, sete çok fazla puan ait olduğunu ve diğerlerinin olmadığını kesin olarak bilsek de, sete üyeliğini bilmediğimiz birçok puan da vardır. Şimdiye kadar gördüğümüz tüm görüntüler, "bağlı tutulan n yinelemelere kadar" birçok nokta içerebilir, ancak bu noktalar aslında kümeye ait olmayabilir.

Yani, sınırlı bir sunumla belirli bir nokta için, "Bu nokta kümeye ait mi?" eğer haklıysam, henüz karar verilebilir olduğu kanıtlanmamıştır.

Şimdi, hangi anlamda (hangi tanımla) Mandelbrot setinin "hesaplanabilir" olduğunu söyleyebiliriz?

Mandelbrot setinin hesaplanabilir olmasının ne anlama geldiğini tanımlamanın birkaç yolu vardır. Olası bir tanım Blum – Shub – Smale modelidir. Bu modelde, gerçek hesaplama, gerçek sayılara erişimi temel aritmetik ve karşılaştırmalar ile sınırlı olan bir RAM makinesine benzer bir makine tarafından modellenmiştir. Blum ve Smale, Mandelbrot setinin bu modelde hesaplanamayacağını gösterdi, ancak tamamlayıcısı, bunları çizmek için kullanılan geleneksel algoritma kullanılarak tekrar tekrar numaralandırılabilir.

Başka bir model hesaplanabilir analizi ile gösterildiği gibi Mandelbrot'un grubu, muhtemelen hesaplanabilir olduğu, HERTLING (yaygın olarak inanılan bir varsayım, hyperbolicity varsayım için geçerli). Bu modelde, Mandelbrot setinin hesaplanması, istenen herhangi bir doğruluk içinde Mandelbrot setine bir yaklaşımı hesaplayabilmek anlamına gelir (kesin tanım için, hesaplanabilir analiz referansına bakın).

Peki neden bilgisayar Mandelbrot setini çizebiliyor gibi görünüyor? Geleneksel algoritmanın işe yaradığını göstermedeki ana zorluk, noktanın sete ait olduğuna karar vermeden önce kaç tekrarlamanın çalıştırılacağını önceden anlatmanın zor olmasıdır. Hertling, yaygın olarak inanılan hiperbolisite varsayımının geçerli olması durumunda, makul bir sınırın olduğunu gösterir. Muhtemelen, programlar yeterince uzun süre bekler; ya da yeterince beklemezler, fakat yanlış noktaların sadece küçük bir kısmını alırlar.

Temel olarak, Mandelbrot seti hesaplanamaz (bildiğimiz kadarıyla). Görüntüleri görmeniz onun hesaplanabilir olduğu anlamına gelmez. Bu görüntüler bir yaklaĢım kullanılarak hesaplanıyor: süreç, bir sezgisel olarak ayarlanan bir eşik değerden daha uzun sürerse, kod asla sonlandırılmayacağını varsayar. Bu buluşsal yöntem yanlış olabilir ve sonuç olarak bu görüntüler% 100 doğru olmayabilir. Başka bir deyişle, bu resimler Mandelbrot setinin bir görüntüsü değildir; bunlar Mandelbrot setine yakındır.