Tekil dillerin kelime uzunlukları ile düzenliliği iki sayı toplamıdır. üç kare

Tekli dilleri düşünüyorum $L_k$, nerede $L_k$ uzunluğu toplamı olan tüm kelimelerden oluşur $k$kareler. resmen:

$$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$$ Bunu göstermek kolaydır $L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$düzenli değildir (örneğin Pumping-Lemma ile).
Ayrıca, her doğal sayının dört karenin toplamı olduğunu biliyoruz.$k\ge 4$ Bütün diller $L_k$ o zamandan beri düzenli $L_k=L(a^*)$.

Şimdi davalarla ilgileniyorum $k=2$ ve $k=3$:

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$, $L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$.

Ne yazık ki, bu dillerin düzenli olup olmadığını gösteremiyorum ( Legendre'nin üç kare teoreminin veya iki kare toplamında Fermat teoreminin yardımıyla bile ).

En azından eminim $L_2$düzenli değil ama mutsuzca düşünmek bir kanıt değil. Herhangi bir yardım?

İle başlayalım $L_2$. İki karenin toplamı olan tamsayıların üst yoğunluğunun 0 olduğu bilinmektedir .$L_2$daha sonra düzenli olacaktı, bu yüzden üst yoğunluğu 0 olduğu için sonlu. Ama biliyoruz ki, içinde keyfi olarak büyük tamsayılar var$L_2$, Böylece $L_2$ düzenli olamaz.

ilişkin $L_3$, kelimeleri düşün $w_k = 1^{4^k 7}$. Bunu iddia ediyorum$k < \ell$, sözler $w_k,w_\ell$eşitsiz. Aslında,$w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$ süre $w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$. Myhill – Nerode kriteri daha sonra şunu gösterir:$L_3$ düzensiz.

varsaymak $L_3$düzenli. Sonra öylesine tarafından bunun tamamlayıcısı olan üç kare teoremi var Legendre olduğunu$\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$. By Parikh teoremi , bu uzunluktaki bu seti ima edebilir$S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$ yarı doğrusal, yani sonlu birleşme $\bigcup_{i=1}^NS_i$ doğrusal kümelerin $S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$.

İki unsuru düşünün $s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$ ile $k_1>k_2$ve bırak $r:=k_1-k_2$. Eğer$s_1,s_2$ ikisi de aynı $S_i$, o zaman da $2s_1-s_2$ veya $2s_2-s_1$ ( $s_1<s_2$ veya $s_1>s_2$). Fakat

• $2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$, nerede $l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$,
• $2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$, nerede $l'=2l_2-4^rl_1$.

Bunların hiçbiri $S$, yani $s_1,s_2$sendikanın farklı üyelerinde olmak zorundaydı. Ama bu imkansız çünkü$S$ sonlu bir birliktir ve sonsuz sayıda farklı $k$.

Bu nedenle, $L_3$ düzenli değil.