Min. Kesim ağ akışından daha kolay olabilir mi?

Maksimum akışlı min-kesme teoremi sayesinde, bir -min-cut'u hesaplamak için bir ağ grafiğindeki maksimum akışı hesaplamak için herhangi bir algoritmayı kullanabileceğimizi biliyoruz . Bu nedenle, en az işlem karmaşıklığı maksimum işlem karmaşıklığını daha fazla kes Akışlı. $(s,t)$ $(s,t)$ $(s,t)$

Daha az olabilir mi? Herhangi bir maksimum akış algoritmasından daha hızlı bir minimum kesimini hesaplamak için bir algoritma olabilir mi? $(s,t)$

) -max-flow problemini -min-cut problemine indirgemek için bir azalma bulmaya çalıştım , ancak bir tane bulamadım. İlk düşüncem bir bölme ve fethetme algoritması kullanmaktı: ilk önce grafiği iki parçaya ayıran bir min-cut bulun; şimdi sol kısım için bir maksimum akış ve sağ kısım için bir maksimum akış bulun ve bunları kesik kesişen tüm kenarlarla birleştirin. Bu gerçekten bir maksimum akış üretmek için işe yarayacaktır, ancak en kötü çalışma süresi, min-kesme algoritmasının çalışma süresi kadar kadardır. Daha iyi bir azalma var mı? $(s,t$ $(s,t)$ $O(|V|)$

Maksimum akışlı min-kesme teoreminin, bir maksimum-akışın değerini hesaplama karmaşıklığının , bir min-kesme kapasitesini hesaplama karmaşıklığı ile aynı olduğunu anlıyorum, ama istediğim şey bu değil. Bir maksimum akış bulma ve bir min-cut bulma sorununu soruyorum.

Bu, bir min-kesimden maksimum akışı hesaplamakla çok yakından ilgilidir , ancak: (1) Sadece Karp azaltmalarına (çoklu bir azaltma) değil Cook azaltmalarına (Turing azaltmalarına) izin vermeye hazırım ve (2) belki verilen bulabildiğimiz bazı grafik min kesilmiş şekilde kolay değerlerinin maksimum akışını hesaplamak için yapar diger soru için kapsam dışında bir şeydir. $G$ $G'$ $G'$ $G$

— DW
kaynak

@AshkanKzme, seni takip etmiyorum; detaylandırabilir misin Sorunun 4. paragrafında belirttiğim gibi, maksimum akışlı min-kesme teoremi maksimum-akış değerinin min-kesme kapasitesine eşit olduğunu gösterir . Şüphelendiğin şey bu. Bununla birlikte, maksimum akışın değerini bilmek size maksimum akışın kendisini söylemez (örneğin, her bir kenarda ne kadar gönderileceğini). Bu soru, maksimum akışın kendisinin hesaplanmasının, min-kesimin kendisinin hesaplanmasının karmaşıklığını soruyor. Sorum tam olarak sorunun 2. paragrafında belirtildiği gibidir.

— DW

@AshkanKzme, Hayır, yanlış bir varsayımda bulunmadım. Ford-Fulkerson'ın bir min-cut bulmak için mümkün olan en hızlı algoritma olduğunu varsayıyorsunuz ... ama bildiğim kadarıyla kimse bunu kanıtlamadı ve bunun doğru olup olmadığını bilmiyoruz. Bana, alt sınırdaki kanıtlarla standart çaylak hatasını yaptığınız gibi geliyor: "Bu sorunu daha hızlı çözmenin bir yolunu göremiyorum, bu yüzden imkansız olmalı". (PS Bana maksimum akış min-cut hakkında standart ders kitabı şeyler söylüyorsun. Yardım etmeye çalıştığınız için teşekkür ederim, ama zaten bunu biliyorum ...)

— DW

"Ben sadece min-cut varsa, maksimum akışı elde edebilirsiniz kanıtlanabilir düşünüyorum" kadarıyla, Eh, bunun kanıtı ile bir cevap yazmaya teşvik ediyorum - temelde bu sorum soruyor. Bunun bir kanıtı hiç görmedim, ama eğer varsa, umarım yazacaksın!

— DW

@DW Sanırım şimdi soruyu biraz daha iyi buluyorum. Sanırım polinom turing azaltımı vermen beni çok etkiledi.

yi kanıtlamak için sürekli bir turing azaltımına ihtiyacınız olmaz mı , böyle bir azaltmanın mümkün olmadığını kanıtlamak bile bunu reddetmez mi?

f (n) = Θ (g (n))

$f(n) = \Theta(g(n))$

— Thomas Bosman

@ThomasBosman, evet, bu doğru. [Kafanı karıştırdığım için üzgünüm. Soruda verdiğim azalma , çok zayıf bir alt sınır olan

olduğunu kanıtlıyor . Ben

kanıtlayan bir azalma olabileceğini umuyorum , ama böyle bir şey nasıl inşa edeceğimi bilmiyorum.]

f (n) = Ω (g (n) / n)

$f(n) = \Omega(g(n)/n)$

f (n) = Ω (g (n))

$f(n) = \Omega(g(n))$

— DW

-1

İşte olası bir yaklaşım:

Daha sonra gelen akışı bulmak kesme S bilmek varsayalım için Eğer her tepe tam olarak çıkış bildikleri, sıfır maliyetle dak maliyeti, şebeke akış problemi olan ve en akıştaki . Varsayalım bir belirtmektedir akışı ve düğümü yay matris (örneğin satır , sütun ise 1 sahiptir kuyruk olan , -1 kafasını, sıfır, aksi takdirde) ve izin gibi olması eğer $S$ $t$ $V\setminus S$ $t$ $f$ $S-t$ $A$ $i$ $j$ $i$ $j$ $b$ $Af = b$ $f$ Arz / talebi ve akış korumasını tatmin eder. Sonra gauss eleme ile uygun bir çözüm bulabilirsiniz işlem. $|V|^3$

Bir akıştan bir kesim bulmak için en fazla gereken artık grafiği oluşturmamız gerekir zaman ve sonra potansiyel olarak çaprazlama köşe noktası. $|E|$ $|V|$

Bu nedenle, tam grafikler ve minimum kesim için sadece kaynak veya sadece lavabo olmak üzere, azalma her iki yönde de en kötü durumda eşit zaman alır. Ancak, için uygun bir çözüm bulmak daha hızlı yapılabilir düşünebilirim özel yapı verilmiştir. Ama bunu nasıl kanıtlayacağımdan emin değilim. $Af =b$ $|V|^3$

— Thomas Bosman
kaynak

Gauss yok etmeyi kullanarak

nasıl bulacağımı anlamıyorum . Bizde var

doğrusal denklemler

bilinmeyenler. Genellikle

, böylece bilinmeyenleri benzersiz bir şekilde belirlemek için yeterli denklemimiz olmayacak. Göz ardı ettiğim bir hile var mı?

f

$f$

| V |

$|V|$

| E |

$|E|$

| E | > | V |

$|E|>|V|$

— DW

Ben de bu konuda uzman değilim, bu yüzden yanlış olabilirim. Ancak benzersiz bir çözüm bulunmaması bunu kolaylaştırıyor gibi görünüyor. İndirgenmiş kademe formunu sıraya indirirseniz,

bağımsız sütunlar. Daha sonra diğer alt sütunlar için sıfır akışla birleştirilen bu alt matris ve

eşsiz çözeltisi, kendi başına bir sorun olmayan benzersiz olmayan bir çözüm verecektir. Öngörebileceğim sorun,

kapasite kısıtlamalarını ihlal etmesidir, ancak sezgisel olarak bunu doğrudan atlatmanın bir yolu olduğunu söyleyebilirim

| V |

$|V|$

b

$b$

f

$f$

— Thomas Bosman

Evet, kapasite kısıtlamaları ana zorluk gibi görünüyor. Aksi takdirde, lineer denklemler sistemini çözmek size

tatmin eden, ancak kapasite kısıtlamalarını ihlal ettiği için geçerli bir akış olmayan bir çözüm verebilir .

A f = b

$Af=b$

— DW

Saçmalık bu doğru. Bir çözümü olduğunu bildiğiniz kısıtlamaları (üst ve alt) ekleyebilirsiniz, ancak sonra | V | +2 | E | daha yavaş olur, sadece maksimum akışı doğrudan hesaplar.

— Thomas Bosman

Diğer sorun, kapasite kısıtlamalarının eşitsizlikler (eşitlikler değil) olmasıdır, bu nedenle Gauss eliminasyonunu kullanamazsınız: söylediğiniz gibi, yalnızca maksimum akış doğrudan.

— DW