Son zamanlarda, Turing'in durma sorununun kararsızlığına dair kanıtının Russell'ın berber paradoksuna çok benzediğini belirten ilginç bir benzetme duydum.

Merak ettim: matematikçiler sonunda Cantor'un alanın naif formülasyonundan daha karmaşık bir aksiyom sistemine (ZFC set teorisi) geçerek, önemli dışlamalar (kısıtlamalar) ve yol boyunca eklemeler yaparak set teorisini tutarlı hale getirmeyi başardılar.

Bu nedenle, Turing makinelerinden daha güçlü ve daha etkileyici olan ve var olan bir kanıtı veya belki de durma problemini çözmek için bir algoritmayı elde edebilecek genel hesaplamanın soyut bir tanımını bulmak mümkün olabilir mi? keyfi bir Turing makinesi?

Gerçekten kıyaslayamazsın. Saf küme teorisinin ZFC küme teorisi tarafından ortadan kaldırılan paradoksları vardı. Bilimsel çalışmanın temel bir varsayımı, tutarlılığın gerçekleştirilebileceğidir (başka bir akıl yürütme şanslı bir iş haline gelir) çünkü teori tutarlılık için geliştirilmelidir. Sanırım matematikçiler bunun mümkün olmasını beklediler ve sorunu çözmek için çalıştılar.

Hesaplama teorisi ve durma probleminde böyle bir durum yoktur. Paradoks yok, tutarsızlık yok. TM durdurma problemini çözebilecek bir Turing makinesi yoktur. Bu sadece bir teorem, paradoks değil.

Dolayısıyla, evreni anlamamızda bazı atılımlar, şimdi hayal edebileceğimizden çok hesaplama modellerine yol açacaktır. TM aleminde kalan çok zayıf bir formdaki tek olay muhtemelen kuantum hesaplama idi. Hesaplanabilirlikten ziyade karmaşıklığa (ne kadar zaman alır?) Dokunan bu çok zayıf örnek dışında, bu gezegendeki herkesin TM'nin ötesinde hesaplanabilirliğin bekleneceğine dair bir ipucu olduğundan şüpheliyim.

Ayrıca, durma problemi, Turing makinelerinin sınırlı bir metin parçası, bir dizi sembol ile açıklanmasının doğrudan bir sonucudur. Bu aslında tüm bilgimiz için (bildiğimiz kadarıyla) doğrudur ve bu yüzden konuşma ve kitaplar çok önemlidir. Bu, kanıtları ve hesaplamaları tanımlayan tüm tekniklerimiz için geçerlidir.

Yani, hesaplama şeklimizi genişletmenin bir yolunu bulsak bile, T + makineleriyle söyleyin. Ya sonlu belge yazmanın ötesinde bilgiyi ifade etmenin bir yolunu bulduğumuz anlamına gelecektir, bu durumda her şey benim yetki alanımdan (mutlak yetersizlik olduğunu iddia ediyorum) ve muhtemelen başka birinin. Veya sonlu belgelerde hala ifade edilebilir, bu durumda T + makineleri için kendi durma problemi olurdu. Ve soruyu tekrar soruyorsun.

Aslında bu durum tam tersi. Doğrusal Sınırlı Otomata (LBA) gibi bazı makine türleri Turing makinelerinden daha zayıftır. Yine de oldukça güçlüler, ancak LBA'nın LBA için durma problemini çözemediği TM için yapıldığı gibi gösterilebilir. Ancak TM bunu LBA için çözebilir.

Son olarak, belirli sorunlara cevap verebilen ve cevaplar için bir TM tarafından çağrılabilen, ancak maalesef fiziksel olarak mevcut olmayan cihazlar olan oracle'i tanıtarak daha güçlü hesaplama modelleri hayal edebilirsiniz. Böyle kehanetle genişletilmiş TM, yukarıda düşündüğüm T + makinesinin bir örneğidir. Bazıları TM durma problemini çözebilir (soyut değil, gerçek değil), ancak soyutlama problemlerini bile soyutlayamazlar.

Eh, her zaman sıradan Turing makinesi durma problemi için bir kehanetle donatılmış bir Turing makinesini düşünebilirsiniz. Yani, yeni makinenizde sıradan bir Turing makinesinin açıklamasını ve girdisini yazıp makinenin bu girişte durup durmadığını sorabileceği özel bir bant vardır. Tek bir adımda, bir yanıt alırsınız ve bunu daha fazla hesaplama yapmak için kullanabilirsiniz. (Tek bir adımda olup olmadığı önemli değildir: sonlu sayıda adımda olması garanti edilirse yeterli olacaktır.)

Ancak, bu yaklaşımla ilgili iki sorun vardır.

1. Böyle bir kehanetle donatılmış tornalama makineleri kendi durma problemlerine karar veremez: Turing'in sıradan durma probleminin kararsızlığına dair kanıtı bu yeni ayara kolayca değiştirilebilir. Aslında, hiyerarşinin bir sonraki seviyesine bir öncekinin durma problemi için bir kehanet vererek, "Turing derece" olarak bilinen sonsuz bir hiyerarşi vardır.

2. Hiç kimse böyle bir kehanetin fiziksel olarak nasıl uygulanabileceğini önermedi. Her şey teorik bir cihaz olarak çok iyi, ancak kimsenin nasıl oluşturulacağına dair hiçbir fikri yok.

Ayrıca, ZFC'nin bir anlamda saf küme teorisinden daha zayıf olduğunu, daha güçlü olmadığını unutmayın. ZFC, Russell'ın paradoksunu ifade edemezken, naif küme teorisi bunu söyleyebilir. Bu nedenle, daha zayıf hesaplama modelleri için durma sorununun Turing makinelerine göre karar verilip verilmeyeceğini sormak daha iyi olacaktır. Örneğin, deterministik sonlu otomata (DFA'lar) için durma problemi karar verilebilir, çünkü DFA'ların her girdi için durması garanti edilir.

Uyarı: Felsefi / katı olmayan bir cevap

Bu biraz "felsefi" olabilir, ama bence sorunuzun ruhuna uyuyor.

Tekrarlanamayan bir makine

Durma sorununun kanıtının köşe taşı, Turing makinesinin bir işlev gibi davranmasıdır: Aynı giriş için her zaman aynı çıkışı verir. Bu özelliği kaldırırsanız, makinenin kendi özelliklerini bulabilmesi açısından "genel" durdurma sorunuyla uğraşmanız gerekmez. Ama aynı zamanda böyle bir makinenin arzu edilen teorik özelliklerinin çoğunu kaybedersiniz.

Özelliklerin kaldırılması

Biraz set teorisinden kategori teorisine geçmek gibi: Sınırlamaları kaybederek bazı "paradoksları" kaybedersiniz. Ancak sonucun ele alınması çok daha zordur.

Bu durumda şu anlama gelir: Makinenin size "doğru" sonucu sunması konusunda hiçbir fikriniz olmaz. Hangi sonucun doğru olduğuna her zaman karar verdiğinizde, makineyi kendisine uygulayıp bir çelişki oluşturarak bir tür "durma problemi" ile uğraşmanız gerekir. Yani böyle bir makine muhtemelen çok yararlı olmaz.

Durdurma Sorunu Turing Makinalarının sınırlamalarını ifade etmek için değil, hepsinin bir sınırlamasını ifade etmek için formüle edilmiştir. sınırlı sayıda sembol kullanılarak ifade edilebilen mantık sistemlerinin . Bir mantık sistemi belirli karmaşıklıktaki sorunların çözümlerini ifade etme yeteneğine sahip olduğunda, çözemediği sorunları da ifade etme yeteneğine sahip olacaktır. Daha önce çözemediği tüm sorunların çözümlerini ifade etmek için yeterli olan bir mantık sisteminin genişletilmesi, çözemediği yeni sorunları ifade etme yeteneğini de içerecektir.

Herhangi bir "Geliştirilmiş Turing Makinesi" spesifikasyonu göz önüne alındığında, ETM için bir programı inceleyip durup durmayacağını rapor edebilen bir "Süper Geliştirilmiş Turing Makinesi" belirtmek mümkün olacaktır, ancak SETM sadece programları analiz edebilecektir. ETM - SETM programlarını analiz edemezdi. Programları kendisi için analiz edebilen ve durup durmadığını belirleyebilen bir makine tanımlamanın bir yolu yoktur, çünkü yeni özellikler ekleme eylemi bir kendi kendine analizör için yeni gereksinimler yaratacaktır ve özelliklerin gereksinimleri "yakalamasını" sağlamanın bir yolu yoktur. .

Bu tür makineler öngörülmüştür ve bunlara süper Turing makineleri denir . Süper turing makinesinin birkaç ana sınıfı

• Gerçek sayı makineleri (yani analog bilgisayarlar)
• Sonsuz zaman verilen tur makineleri
• Belirsiz Turing Makinesi

Tüm süper turing makineleri durma problemini çözemez (özellikle belirsiz olmayan turing makineleri yapamaz). Bununla birlikte, kavramsal makineler, en azından düşünce deneylerinde yaratılmıştır.