İki normal dilin birleştirilmesi ne zaman açıktır?

16

Verilen diller $A$ ve , en kendi birleştirme diyelim olduğu kesin tüm kelimeleri eğer , bir ayrışma tam orada ile ve ve belirsiz aksi. (Bu özellik için belirlenmiş bir terim olup olmadığını bilmiyorum - aramak zor bir şey!) Önemsiz bir örnek olarak, kendisiyle birleştirilmesi belirsizdir ( ), ancak kendisiyle birleşmesi açık değildir. $B$ $AB$ $w \in AB$ $w = ab$ $a \in A$ $b \in B$ $\{\varepsilon, \mathrm{a}\}$ $w = \mathrm{a} = \varepsilon \mathrm{a} = \mathrm{a} \varepsilon$ $\{\mathrm{a}\}$

İki normal dilin birleştirilmesinin kesin olup olmadığına karar vermek için bir algoritma var mı?

— rstern
kaynak

1

Gah, bu tamamen birinci sınıf CS problemi, değil mi? Dürüst olmak gerekirse, çok fazla denemedim; Literatürde bir yerde bunun için yerleşik bir algoritma olmasını umuyordum ve tekerleği yeniden icat etmek zorunda kalmam. Buraya yazılım yazıyorum; Sadece birkaç CS dersi aldım (birkaç yıl önce) bu yüzden temel olarak Wikipedia'dan başlıyorum. Kimsenin cevabı için çalışmak istemeyen birini sevmediğini biliyorum, bu yüzden bana bir algoritma vermek yerine bir ders kitabı ya da kağıt ya da bana işaret edebileceğiniz bir şey varsa, bu yararlı olacaktır! Teşekkürler!

— rstern

Bunu bir yorum olarak ekledim, çünkü nispeten konu dışı, ama belki de sizi biraz yardıma götürebilir. Unicode Konsorsiyumu, diller arasındaki ortaklığı belirlemek için birkaç işleme sahiptir. Onların sitesinde çok bilgilendirici bir bağlantı okudum ama benim hayatım için bunun yerine bir cevap yapmak bugün bulamadım. Bu araştırma için zaman varsa burada onların SSS sayfası unicode.org/faq

— htm11h

10

İpucu: ve için DFA'lar verildiğinde , en az iki farklı ayrışmaya sahip kelimeleri kabul eden bir NFA oluşturun . NFA için standart NFA iki kopya izler (için DFAS birleştirilmesiyle oluşturulan ve ile gelen geçiş sağlanması, geçişler) için , iki farklı noktalarda gerçekleşir. $A$ $B$ $AB$ $AB$ $A$ $B$ $\epsilon$ $A$ $B$

— Yuval Filmus
kaynak

İpucu için teşekkürler! Anlıyorsam,

belirsiz kelimeler için bir NFA oluşturabilir ve sonra otomayı boşluk için test edebilirim. Zor kısmı "dan geçiş sağlamak gibi görünüyor

karşı

iki farklı noktada olur". Bunu iki

DFA'nın çapraz ürününü (?) Alıp tüm (

-terminal,

-terminal) ürün durumlarını silmekten başka nasıl yapacağımdan emin değilim - el yıkama , geçiş

NFA

DFA fikri ile screw

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A

$A$

A

$A$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$ -terminal. Sesler, um, verimsiz olsa da; yazılıma uygun bilinen bir algoritma var mı?

— rstern

Evet, kulağa çok verimli gelmiyor, ancak her zaman akıllı bir şekilde yapma seçeneği var. Bu sorun için belirli bir algoritmanın farkında değilim, ama biri olabilir.

— Yuval Filmus

7

Güncellendi (Yuval Filmus sayesinde).

nın iki dili ve verildiğinde , $X$ $Y$ $A^*$ o İstemve sadece dil eğer açık olanboştur.

\begin{aligned} X^{- 1} Y & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that x u \in Y} \\ Y X^{- 1} & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that u x \in Y} \end{aligned}

$\begin{align} X^{-1}Y &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $xu \in Y$} \} \\ YX^{-1} &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $ux \in Y$} \} \end{align}$

X Y

$XY$

X^{- 1} X \cap Y Y^{- 1} \cap A^{+}

$X^{-1}X \cap YY^{-1} \cap A^+$

Kanıt . Diyelim ki belirsiz. Daha sonra bir kelime vardır üzerinden iki Ayırma sahiptir , ki , ve . Genelliği kaybetmeden öneki olduğunu varsayabiliriz , yani $XY$ $u$ $XY$ $u = x_1y_2 = x_2y_1$ $x_1, x_2 \in X$ $y_1, y_2 \in Y$ $x_1$ $x_2$ Bazı için . Bunu , bu nedenle . Böylece . $x_2 = x_1z$ $z \in A^+$ $u = x_1y_2 = x_1zy_1$ $y_2 = zy_1$ $z \in X^{-1}X \cap YY^{-1}$

Şimdi bazı boş olmayan kelimeler içerdiğini varsayalım . Sonra ve öyle ki ve . Bunu takip eder $X^{-1}X \cap YY^{-1}$ $z$ $x_1, x_2 \in X$ $y_1, y_2 \in Y$ $x_2 = x_1z$ $y_2 = zy_1$ $x_2y_1 = x_1zy_1 = x_1y_2$ and hence the product $XY$ is ambiguous.

If $X$ and $Y$ are regular, then both $X^{-1}X$ and $YY^{-1}$ are regular and thus $X^{-1}X \cap YY^{-1}$ is also regular (see Yuval's answer for an automaton accepting this language).

— J.-E. Pin
kaynak

What if

z

$z$ is the empty word?

— Yuval Filmus

Ooops. I update.

— J.-E. Pin