Güncellendi (Yuval Filmus sayesinde).
A ∗' nın iki dili ve Y verildiğinde ,
X - 1 Y olsunXYA∗
o İstemX, Yve sadece dil eğer açık olanX-1x∩Y'ninY-1∩bir+boştur.
X−1YYX−1={u∈A∗∣there exists x∈X such that xu∈Y}={u∈A∗∣there exists x∈X such that ux∈Y}
XYX−1X∩YY−1∩A+
Kanıt . Diyelim ki belirsiz. Daha sonra bir kelime vardır u üzerinden iki Ayırma sahiptir X, Y , ki U = x 1 y 2 = x 2 y 1 , x 1 , x 2 ∈ x ve y 1 , y 2 ∈ Y . Genelliği kaybetmeden x 1'in x 2 öneki olduğunu varsayabiliriz , yani x 2 = xXYuXYu=x1y2=x2y1x1,x2∈Xy1,y2∈Yx1x2Bazı z ∈ A + için 1 z . Bunu u = x 1 y 2 = x 1 z y 1 , bu nedenle y 2 = z y 1 takip eder . Böylece z ∈ X - 1 X ∩ Y Y - 1 .x2=x1zz∈A+u=x1y2=x1zy1y2=zy1z∈X−1X∩YY−1
Şimdi bazı boş olmayan kelimeler z içerdiğini varsayalım . Sonra x 1 , x 2 ∈ X ve y 1 , y 2 ∈ Y vardır, öyle ki x 2 = x 1 z ve y 2 = z y 1 olur . Bunu takip eder x 2 y 1 = x 1 z y 1 =X−1X∩YY−1zx1,x2∈Xy1,y2∈Yx2=x1zy2=zy1x2y1=x1zy1=x1y2 and hence the product XY is ambiguous.
If X and Y are regular, then both X−1X and YY−1 are regular and thus X−1X∩YY−1 is also regular (see Yuval's answer for an automaton accepting this language).