Sonlandırıp sonlandırmadıklarını bilmediğimiz en basit program örnekleri nelerdir?

Durma problemi, belirli bir programın durup durmayacağını belirleyen bir algoritma olmadığını belirtir. Sonuç olarak, sonlandırıp sonlandırmadıklarını söyleyemediğimiz programlar olmalı. Bu tür programların bilinen en basit (en küçük) örnekleri nelerdir?

Oldukça basit bir örnek, Collatz varsayımını test eden bir program olabilir :

Bu var bilinen için durma noktasına , en azından kadar , ama genel olarak bir açık sorun.$n$$5 × 2^{60} ≈ 5.764 × 10^{18}$

Durma problemi, belirli bir programın durup durmayacağını belirleyen bir algoritma olmadığını belirtir. Sonuç olarak, sonlandırıp sonlandırmadıklarını söyleyemediğimiz programlar olmalı.

"Biz" bir algoritma değil =) Belirli bir programın her program için durup durmayacağını belirleyebilecek genel bir algoritma yok .

Bu tür programların bilinen en basit (en küçük) örnekleri nelerdir?

Aşağıdaki programı göz önünde bulundurun:

n = 3
while true:
    if is_perfect(n):
            halt()
    n = n + 2

İs_perfect işlevi n'in mükemmel bir sayı olup olmadığını kontrol eder . Tek bir mükemmel sayı olup olmadığı bilinmemektedir, bu nedenle bu programın durup durmayacağını bilmiyoruz.

Sen yaz:

Durma problemi, belirli bir programın durup durmayacağını belirleyen bir algoritma olmadığını belirtir. Sonuç olarak, sonlandırıp sonlandırmadıklarını söyleyemediğimiz programlar olmalı.

Bu, her iki yönde de sekestör değildir. Ele almaya değer olan ortak bir yanlışlığa kapılıyorsun .

$P$$P$$P$

Sadece algoritmanın tüm programlar için Durdurma problemini çözmesi gerekiyorsa, böyle bir algoritmanın bulunmadığını gösterebilirsiniz.

Şimdi, Halting sorununun çözülemez olduğunu bilmek, kimsenin fesih veya döngüsünü kanıtlayamayacağı hiçbir program olmadığı anlamına gelmez . Bir Turing makinesinden daha güçlü olmasanız bile (yalnızca bir hipotezdir, kanıtlanmış bir gerçek değildir), bildiğimiz tek şey hiçbir algoritmanın / kişinin tüm programlar için böyle bir kanıt sağlayamayacağıdır . Her program için karar verebilecek farklı bir kişi olabilir.

Daha fazla ilgili okuma:

• Π Bazı basamak dizisine sahip olup olmadığı nasıl belirlenebilir $\pi$
• İnsan işlem gücü: İnsanlar Turing Makinelerinde durma problemine karar verebilir mi?
• Turing'in "Durma problemini" çözme algoritması
• Program sentezi, karar verilebilirlik ve durma problemi
• Kısıtlı veya öngörülebilir bir girişiniz varsa, durma problemini çözmek mümkün müdür?
• Neden toplam fonksiyonlar numaralandırılamıyor?

Dolayısıyla, asıl sorunuzun (aşağıda tekrarlandığı gibi) durma sorununun hesaplanabilir olup olmadığı ile ilgisi olmadığını görüyorsunuz. Hiç.

[Durdurmayı ya da döngülemeyi bilmediğimiz programların] bilinen en basit (en küçük) örnekleri nelerdir?

$S$

$\qquad\displaystyle g(n) = \begin{cases}1, &S \text{ true},\\ g(n+1), &\text{else}.\end{cases}$

Verilmiş, bunlar çok "doğal" değil.

1. Mutlaka hepsi değil , ama bir anlamda "çok". En azından sonsuz sayıda.

Belirli özelliklere sahip bir sayının varlığına ilişkin herhangi bir açık sorun, böyle bir programa (böyle bir sayıyı arayan) neden olur. Örneğin, Collatz varsayımına katılın; Bunun doğru olup olmadığını bilmediğimizden, aşağıdaki programın sonlandırılıp sonlandırılmadığını da bilmiyoruz:

    n:=1;
    found:=false;
    while not found do
      s:={};
      i:=n;
      while i not in s do
        add i to s;
        if i even then i:=i/2 else i:=3i+1
      if 1 not in s then found:=true;
      n:=n+1  

Busy Beaver sorununun 5 durumlu 2 sembollü bir Turing makinesi için çözülmediği göz önüne alındığında, yalnızca beş durumlu ve sadece iki simge boş bir kaset için başlatıldığında durmadığı veya durmadığı gösterilmiş olan bir Turing makinesi bulunmalıdır. . Bu çok kısa, özlü ve kapalı bir programdır.

soru karmaşıktır çünkü karar verilebilirlik (CS eşdeğeri resmileştirme / durma sorununun genelleştirilmesi) dillerle ilişkili olduğundan, bu formatta tekrar ortaya çıkması gerekir. Bunun çok fazla belirtilmediği görülüyor, ancak matematik / CS'deki birçok açık sorun kolayca bilinmeyen kararsızlığa sahip sorunlara (dillere) dönüştürülebilir. bunun nedeni teorem ispatlanması ve (tek) kararsızlık analizi arasındaki sıkı bir ilişkiden kaynaklanmaktadır. örneğin (bir nevi tek sayıdaki mükemmel cevabın cevabı gibi), Yunanlılara tarihlenen (2 bin yıldan daha uzun bir süre önce) ve ikiz araştırmalar düşüncesine binin ve örneğin Zhang / Tao gibi son zamanlardaki önemli araştırma gelişmelerine tabi. aşağıdaki gibi algoritmik bir soruna dönüştürün:

Giriş: n . Çıktı: Y / N en az n ikiz asal bulunur.

algoritma ikiz primerleri arar ve n tanesini bulursa durur . Bu dilin karar verilip verilemeyeceği bilinmiyor . İkiz asal problemin çözülmesi (sonlu ya da sonsuz bir sayı olup olmadığını soran), bu dilin geçerliliğini de çözecektir (eğer sonlu ise kaç tane olduğu ispatlanmış / keşfedilmişse).

Başka bir örnek, Riemann hipotezini alın ve bu dili göz önünde bulundurun:

Giriş: n . Çıkış: E / H biri en az n Riemann zeta fonksiyonunun aşikar olmayan sıfır.

Algoritma önemsiz sıfırlar arar (kod özellikle karmaşık değildir, kök bulmaya benzer, ve temelde x vb'den küçük tüm primerlerin "paritesi" nin toplamlarını hesaplayan nispeten basit olan eşdeğer formülasyonlar vardır ) ve bunlardan n tanesini bulur ve bu dilin geçerliliğini yitirebiliyorsa ve çözünürlüğü Riemann düşüncesini çözmeye "neredeyse" eşdeğerse bilinmez.

Şimdi, daha muhteşem bir örneğe ne dersiniz? ( ihmal, muhtemelen daha tartışmalı)

Giriş: c: Çıkış: Y / N , SAT için bir O (n ^c ) algoritması var.

Benzer şekilde, bu dilin karar verilebilirliğinin çözülmesi P-NP problemine neredeyse eşdeğerdir . ancak bu durumda problem için "basit" kod için daha az belirgin bir durum vardır.

$1 ≤ n ≤ 10^{50}$

$10^{20}$