Hesaplanması kolay, ancak doğrulaması zor herhangi bir problem var mı?

P NP olduğu varsayıldığında , NP-tamamlanmış problemlerin "çözülmesi zor, fakat kontrol edilmesi kolay cevaplar var" dır. Bunun tersini düşünmek mantıklı mı, yani doğru bir cevabı hesaplamanın kolay olduğu, ancak keyfi bir çözümü doğrulamak zor mu? $\neq$

Ben böyle bir sorunun ya da ima edeceğini düşünüyorum:

Üstelik herhangi bir girdi için birçok "doğru" cevap vardır, çünkü aksi halde doğrulama tüm doğru cevapların hesaplanması ile yapılabilir.
Bazı "doğru" cevapların hesaplanması kolaydır, ancak diğerlerinin bulunması zordur.

complexity-theory

— rphv
kaynak

Şüpheliyim. Bir cevabın hesaplanması kolay ise, sertifika seçimi kolaydır: iddia edilen cevabı soruna sağlayın ve sorunu çözerek cevabı "kontrol edin" ve iddia edilen cevabın gerçekten cevabı olup olmadığına bakın.

— Patrick87 19:12

@ Patrick87 - Sanırım bu soruyu ele aldım. Ne çok değerli fonksiyonu ile ilgili o iştirakçi değerler kümesi bir giriş ile ? Varsayın ve den bir eleman kolay olduğu , ancak verildiğinde, olup olmadığını belirlemek zordur .

f

$f$

I_{f} (x) = {y_{1}, y_{2}, \dots}

$I_f(x) = \{y_1, y_2, \dots \}$

x

$x$

| I_{f} (x) | = 2^{| x |}

$|I_f(x)| = 2^{|x|}$

I_{f} (x)

$I_f(x)$

z

$z$

z \in I_{f} (x)

$z \in I_f(x)$

— rphv

@ Patrick87 Çözücü deterministik olabilir ve varolan tüm cevaplardan sadece bir tanesini çıkartabilir. Daha sonra iki çözümün eşdeğer olup olmadığını kontrol etmek için etkili bir yol gerekir. Bir kümedeki eşdeğerlik, bir sorunu çözmekten daha zor olabilir mi?

— Raphael

Aslında o kısmı özledim, üzgünüm. Yine de, öncülden şüphe etme eğilimindeyim. Biraz daha düşüneceğim ve uygun düşüncelerim varsa geri döneceğim.

— Patrick87 19:12

Bir sertifika genellikle bir provayı yeniden yapılandırmanın kolay bir yolu olduğu anlamına gelir; bu nedenle, eğer bir sertifika sağlarsanız tanımlamanın doğrulanması kolaydır. Sertifikasız bir çözüm zor olabilir.

— Gilles 'SO- kötülük yapmayı bırak'

Yanıtlar:

Eğer yapay problemlerle ilgileniyorsanız, bol bol yapabilirsiniz. Burda biraz var:

Unary değerinde n pozitif bir tamsayı verildiğinde , n Boole değişkenlerinde tatmin edici bir 3CNF formülünü cevaplayın .
Tatminkar bir 3CNF formülünün verilmesi kolaydır, ancak verilen bir 3CNF formülünün tatmin edici olup olmadığına karar vermek, iyi bilinen bir NP-tamamlanmış problemi olan 3SAT olup olmadığına karar verir.
Giriş yok. Sadece durmakta olan bir Turing makinesine cevap verin (boş bir giriş bandı ile çalıştırdığınızda).
Böyle bir Turing makinesine vermek kolaydır, ancak verilen bir Turing makinesinin durup durmaması kararsızdır.

Eklendi : Bu arada, son paragrafta yazdıklarının geçerli olduğunu sanmıyorum:

Bu tür bir sorunun herhangi bir girdi için katlanarak çok sayıda “doğru” cevabı ima edeceğini düşünüyorum, çünkü aksi takdirde doğrulama tüm doğru cevapların hesaplanmasıyla yapılabilir.

Eğer sorunun bir çözümü varsa, o zaman gerçekten bir cevabı kontrol etmek, doğru çözümü hesaplamaktan daha zor değildir. Bununla birlikte, sorunun tek bir kolay çözümü ve zor bir çözümü varsa, o zaman tüm çözümleri verimli bir şekilde hesaplayamazsınız. İşte böyle bir problem (çok yapay):

Bir Turing makinası Verilen M “: true, aşağıdaki ifadelerden cevap biri M boş giriş banda durur”, “ M , boş giriş kasete durdurmak yok” ve “ M Turing makinesi”.
Bir çözüm verilmesi kolaydır : “ M bir Turing makinesidir ” seçeneğini her zaman seçebilirsiniz . Ancak, verilen bir cevabın doğru olup olmadığının tespit edilemez olması. Bu problemde her örnek için sadece iki çözüm bulunduğunu unutmayın.

— Tsuyoshi Ito
kaynak

Bu gibi sorunların “yapay” olmasının ne anlama geldiğini resmi olarak tanımlamanın makul bir yolu var mı? (“Makul” derken, “hesaplanabilir” tanımının ne anlama geldiği konusundaki sezgimizi yakaladığını söylemek gibi geniş çapta hemfikir olduğumuz bir şeyi kastediyorum.)

— Gilles '19-12

@Gilles: Hayır, sanmıyorum. Bu sorunları “yapay” olarak adlandırdım, çünkü birisinin önce bu sorunlarla karşılaşması pek olası değil ve daha sonra verilen bir cevap adayının doğruluğuna karar vermenin kolay ve tek bir cevap vermenin zor olduğunu buldum. Ancak bu “yapaylık” kesinlikle katı bir kavram değildir.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi Ito - Net cevabınız için teşekkürler. Görüşünüzü yansıtmak için son paragrafı düzenledim.

— rphv

Her ne kadar Tsuyoshi Ito'nun cevabı "ana" cevabı içermesine rağmen, eklemek istediğim iki incelik notu vardı.

Çözümü doğrulamak zor olsa bile, çözümü kontrol etmek kısa bir prova dizisi ile kontrol etmek kolaydır. Yani, çözümü ilave bilgilerle biraz genişleterek kolayca kontrol edilebilir hale gelir; doğrulama daima NP’dedir. Bunu görmenin bir yolu, bir çözümü hesaplayan aracının kullandıkları tüm rastgele bitleri kaydedebilmesi ve doğrulayıcının aynı hesaplamayı yapmak için aynı rasgele dizeyi kullanabilmesidir. (Prover rastgele bitler kullanmalıdır, aksi halde her zaman aynı cevabı verir ve doğrulayıcı her zaman aynı yöntemi kullanarak bir cevabı hesaplayarak kolayca kontrol edebilir.)
Kuantum bilgisayarlar için bu çok açık bir sorudur. Klasik bilgisayarlar için, doğrulayıcı her zaman adayı simüle etmek ve aynı cevabı aldıklarını kontrol etmek gibi bir şey yapabilir. Bazı zor problemler için, doğrulanması zor olan tüm (üssel olarak birçok) çözümde eşit bir dağılım üreten kuantum algoritması olması tamamen mümkündür. Prover'ı tekrar çalıştıramazsınız, çünkü her seferinde farklı bir cevap alırsınız.

Benzer bir meseleye örnek olarak, Deutsch-Jozsa problemi bundan biraz muzdarip. Bir kehanet dengeli bir işlev değilse, kuantum bir bilgisayar bu durumun hızla olduğunu belirleyebilir, ancak klasik bir bilgisayarın bunu doğrulamasını sağlayacak kısa bir kanıt yoktur. (Bu sadece "benzer" bir meseledir, çünkü yine de başka bir kuantum bilgisayar tarafından kontrol edilebilir ve kontrol P de olmasa bile klasik BPP'dedir.)

— Alex Meiburg
kaynak