Meşgul kunduz insanoğlunun bildiği en hızlı büyüyen işlev midir?

24

Daha yeni ilginç bir sorum vardı. İnsanoğlunun bildiği en hızlı büyüyen fonksiyon nedir? Öyle mi meşgul kunduz ?

Biz gibi işlevleri biliyorum $x^2$ , ancak bu işlev daha yavaş büyür $2^x$ sırayla daha yavaş büyür ki, $x!$ , sırayla den daha yavaş büyür $x^x$ . Daha sonra fonksiyonunu birleştirebiliriz $(x^x)!$ Bu daha hızlı büyür $x^x$ , vb.

Sonra böyle Ackermann fonksiyonu olarak özyinelemeli fonksiyonlar varmak $A(x,x)$ çok daha hızlı daha büyür $(x^x)!$ . Sonra insanlar Ackermann'ın fonksiyonundan daha hızlı büyüyen meşgul kunduz $B(x)$ fonksiyonundan bahsettiler.

Bu noktada meşgul kunduzdan daha hızlı büyüyen başka fonksiyonlar duymadım. Meşgul kunduzdan daha hızlı büyüyebilecek başka fonksiyonların olmadığı anlamına mı geliyor? ( ve benzeri gibi faktörlerin yanı sıra ) $B(x)$ $A(B(x), B(x))$

computability

— bodacydo
kaynak

25

Meşgul kunduz ^ 2 daha hızlı büyüyor

— artistoex 23:12

2

@vzn Büyüme neden sadece hesaplanabilir fonksiyonlar için anlamlıdır? Asimptotik büyüme, hesaplanabilirlik ile hiçbir ilgisi olmayan matematiksel bir kavramdır.

— Raphael

8

BB için @vzn, büyüme oranının hesaplanamayacağı anlamına geliyor. ancak hesaplanamazlık yüksek büyüme oranı anlamına gelmez.

— Sasho Nikolov 23:12

6

Merhaba @vzn. Fonksiyon

bu şekilde

ise

Turing makinesi duraklamalara th' ve

, aksi uncomputable ama Ackerman işlevi daha yavaş büyür. Öte yandan, bazı sabit sabit

,

, BB

Ackerman

için bunu kanıtlamak kolaydır . Eğer böyle olmasaydı, durma problemini açıklama uzunluğunda bir

turing makinesi çalıştırarak çözebilirsiniz.

f

$f$

f (n) = 1

$f(n) = 1$

n

$n$

f (n) = 0

$f(n) = 0$

c

$c$

n > c

$n > c$

(n) >

$(n) >$

(n)

$(n)$

T

$T$

sadece Ackerman

adımları için ve daha önce durup durmadığını görmek için.

n

$n$

(n)

$(n)$

— Aaron

4

@vzn belki başka bir fikrim var "büyüdükçe daha hızlı" .. Ben ortalama tarafından verilen kısmi emirdir (ve diğerlerini inanıyorum) neyi

.

f = ω (g)

$f = \omega(g)$

— Sasho Nikolov 24:12

49

Meşgul kunduz işlevi, herhangi bir hesaplanabilir işlevden daha hızlı büyür . Bununla birlikte, durma problemini çözmek için bir kâhise erişimi olan bir Turing makinesi tarafından hesaplanabilir. Daha sonra durma problemi için kehanete sahip herhangi bir Turing makinesi tarafından bile hesaplanabilen herhangi bir fonksiyondan daha hızlı büyüyen bir "ikinci dereceden" meşgul kunduz fonksiyonu tanımlayabilirsiniz. Bunu sonsuza dek sürdürerek, daha hızlı büyüyen yoğun kunduz fonksiyonlarının hiyerarşisini oluşturabilirsiniz.

Scott Aaronson'un bu konuyla ilgili mükemmel makalesini görün, Kim Daha Büyük Sayıya Ad Verebilir? .

— Aaron
kaynak

HALT_TM için oracle TM'nin meşgul kunduzları neden çözebileceği konusunda bir kaynağınız / nedenleriniz var mı?

— Ryan,

1

Ryan: Durma problemini çözmek, Meşgul Beaver'ı tanımaya eşdeğerdir (hesaplamalı). 1) program[length=n]Durur mu? BusyBeaver(n)Adımlar için onu benzetin . 2) nedir BusyBeaver(n)? Her bir uzunluktaki <n programı için, durursa atın ve diğerlerinin arasından maksimum puanı alın.

— ninjagecko,

@ ninjagecko dur demek istemiyorsun

— PyRulez

35

"En hızlı büyüyen fonksiyon" diye bir şey yoktur. Aslında, en hızlı büyüyen fonksiyon dizisi bile yoktur. Bu zaten Hausdorff tarafından gösterildi. İki işlevi göz önüne alındığında , demek daha hızlı büyür eğer $f,g\colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ $g$ $f$ işlevi verildiğinde, aşağıdaki işlev,daha hızlı büyür:İşlevler bir dizi göz önüne alındığında, aşağıdaki işlevdaha hızlı hepsi daha büyür:

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{f (n)} = \infty .

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{g(n)}{f(n)} = \infty.$

f

$f$

g

$g$

f

$f$

g (n) = n f (n) .

$g(n) = nf(n).$

f_{n}

$f_n$

g

$g$

g (n) = n max_{m \leq n} f_{m} (n) .

$g(n) = n \max_{m \leq n} f_m(n).$ Sorulması gereken doğal bir soru, en hızlı büyüyen fonksiyonların bir "ölçeği" olup olmadığıdır. Bu fonksiyonların İyi düzenli kümesidir

, herhangi bir işlev verilir "cofinal" dir,

, daha hızlı büyüyen işlevi yoktur

. (İyi düzenlenmiş bir küme yerine, eşit bir zincir hakkında konuşabiliriz, yani kümedeki iki fonksiyonun karşılaştırılabilir olması gerekir.) Bir ölçeğin varlığı ZFC'den bağımsızdır: CH varsayalım, bir ölçek vardır, Cohen'in CH'yi tahrif eden (

gerçekleri ekleyen) modelinde hiçbir ölçek yoktur.

g_{α}

$g_\alpha$

f

$f$

g_{α}

$g_\alpha$

ω_{1}

$\omega_1$

— Yuval Filmus
kaynak

5

Diğer cevaplar doğrudan soruyu ele almaktadır. Daha fazla ve daha derin bir arka plan için, konuyla ilgili Lafitte'nin bu makalesi, yoğun kunduz benzeri fonksiyonların daha geniş bağlamını dikkate almaktadır. Ayrıca fikri daha genel bir çerçeveye uyacak bazı sonuçları ve teoremleri vardır. (Gayrı resmi olarak) “meşgul kunduz benzeri fonksiyonların” Chaitin eksiklik fenomenleriyle yakın bir bağlantısı olduğunu göstermektedir (Teorem 2.1). Aynı zamanda, yoğun kunduz benzeri işlevleri "kavramak" için "güçlü" olmayan teorilerin olduğunu, yani Godel ile ilgili eksiklik nedeniyle bu teorilerde kanıtlanamadıklarını göstermektedir. Meşgul kunduz benzeri sonuçların aksiyomlar olarak varsayılması fikrini ve başlangıçta Turing'in öngördüğü fikirlere benzer sonuçların mantıklı bir şekilde ilerlemesini göstermektedir.

[1] Meşgul kunduzlar Grégory Lafitte tarafından çıldırdı . Özet:

Meşgul kunduz işlevlerini kullanarak Chaitin'deki bazı eksiklik sonuçlarını gösteriyoruz. Daha sonra sıralı mantıkların yardımıyla, meşgul kunduz fonksiyonlarının değerlerinin kanıtlanabilir bir şekilde nasıl kurulabildiği ve bu fonksiyonların değerlerinin kanıtlanabilirliği üzerine bir yapı ortaya çıkarmak için bunu kullanabileceği bir teori nasıl elde edileceğini gösteriyoruz.

— vzn
kaynak

diğer cevap tamamen farklı. hmmm, "dile vurgu" den bahsetmek, buna "cehennem hayır" diyen bir moderatör olabilir mi? Neyse kısaltmalar düzenlemeler için +2 kazanmak isteyenler için cömert bir hediye olarak görülebilir =)

— vzn 28:12

1

Kendinize bunun doğrudan cevap vermediğini söylüyorsunuz, peki neden yorum yazmadınız?

— Raphael

0

Hartmanis-Stearns zaman ve mekan hiyerarşi teoremleri, ölçek sınırsız olduğu için zaman veya mekan açısından "en hızlı büyüyen" fonksiyonun olmadığını kanıtlar. Ancak , tüm "iyi davranış gösteren" hesaplanabilir / özyinelemeli işlevlerin karşılaştırılabileceği bir sipariş verir . Ancak birçok "hızlı büyüyen" matematik işlevi, doldurmak için biraz belirgin veya hatta göze çarpan teorik "boşluğu" olmasına rağmen, zaman / mekan karmaşıklığı açısından değerlendirilmiş görünmüyor. Bunu yapmak önemli "köprü teoremlerine" yol açabilir.

— vzn
kaynak