Knuth, de Bruijn ve Rice'ın “Dikilen Çınar Ağaçlarının Ortalama Yüksekliği” Üzerine (1972)

Çok daha az kesinlik ile klasik başlık sadece temel yollarla (üreten fonksiyonları, karmaşık analiz, hiçbir Fourier analizi) türetmeye çalışıyorum . Kısacası, "sadece" düğümlü bir ağacın ortalama yüksekliğinin (yani kökten bir yaprağa kadar maksimum düğüm sayısının) karşıladığını . $h_n$ $n$ $h_n \sim \sqrt{\pi n}$

Anahat aşağıdaki gibidir. Let $A_{nh}$ az yüksekliğe sahip ağaçlar sayı ya da eşit $h$ (Kongre ile $A_{nh} = A_{nn}$ tüm $h \geqslant n$ ve) $B_{nh}$ ağaçların sayısı $n$ düğüm yüksekliği büyük veya eşittir $h+1$ (yani, $B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$ ). Sonra $h_n = S_n/A_{nn}$ , burada $S_n$ sonlu toplamdır

S_{n} = \sum_{h ⩾ 1} h (A_{n h} - A_{n, h - 1}) = \sum_{h ⩾ 1} h (B_{n, h - 1} - B_{n h}) = \sum_{h ⩾ 0} B_{n h} .

$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$ Bu iyi bilinmektedir

A_{n n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1})

$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$ ,

n

$n$ düğümlü genel ağaçlar kümesi , Katalan sayıları ile sayılan

n - 1

$n-1$ düğümlü ikili ağaçlar kümesi ile birlikte .

Bu nedenle, ilk adım $B_{nh}$ asimtotik genişlemesinde ve ardından ana terimi $S_n$ .

Bu noktada yazarlar türetmek için analitik birleştiriciler (üç sayfa) kullanmaktadır.

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 1} [(\binom{2 n}{n + 1 - k h}) - 2 (\binom{2 n}{n - k h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - k h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$

Kendi girişimim şu şekildedir. Birlikte ağaçların arasında bir eşleşme dikkate kare ızgara üzerinde düğümleri ve monotonik yolları den için çarpı etmeyen (ve iki tür adımdan oluşur: ve ). Bu yollara bazen Dyck yolları veya gezileri denir . Şimdi kafes yolları açısından ifadesini ifade edebilirim : uzunluk 2 (n-1) ve yüksekliğin büyük veya ona eşit Dyck yollarının sayısıdır . (Not: yüksekliğinde bir ağaç, yüksekliğinde bir Dyck yolu ile birleşiyor .) $n$ $(n-1) \times (n-1)$ $(0,0)$ $(n-1,n-1)$ $\uparrow$ $\rightarrow$ $B_{nh}$ $h$ $h$ $h-1$

Genelliği kaybetmeden, ile başladıklarını varsayıyorum (bu nedenle diyagonalin üzerinde kalın). Her yol için , eğer varsa çizgisini geçen ilk adımı ele alacağım . Kalkış yolu all yukarıda açıdan, değişiklik içine (bu ve tam tersi yansıma hattı wrt ). istediğim yolların ( ) sınırlarından kaçınan ile arasındaki monotonik yollarla birlikte olduğu ve . (Bkz. Şekil .) $\uparrow$ $y = x + h - 1$ $\uparrow$ $\rightarrow$ $y=x+h$ $B_{nh}$ $(-h,h)$ $(n-1,n-1)$ $y=x+2h+1$ $y=x-1$

Mohanty'nin Klasik Yol Sayma ve Uygulamaları kitabında (1979, sayfa 6) formülü bir kafes içinde tekdüze yolları sayısını sayar için sınırları önlemek olan ve , ve . (Bu sonuç ilk olarak 50'li yıllarda Rus istatistikçiler tarafından tespit edilmiştir.) Bu nedenle, da yeni bir köken göz önüne alındığında , formülün koşullarını yerine : ,

\sum_{k \in Z} [(\binom{m + n}{m - k (t + s)}) - (\binom{m + n}{n + k (t + s) + t})],

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$

(0, 0)

$(0,0)$

(m, n)

$(m,n)$

y = x - t

$y = x - t$

y = x + s

$y = x + s$

t > 0

$t > 0$

s > 0

$s > 0$

(- h, h)

$(-h,h)$

s = 1

$s=1$

t = 2 h + 1

$t=2h+1$ ve hedef nokta (sağ üst köşe) artık . Sonra Bu bu da Beklenen formülle fark , tüm pozitif tamsayılar ( ) yerine tek sayıları ( ) .

(n + h - 1, n - h - 1)

$(n+h-1,n-h-1)$

B_{n h} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n - 2}{n + h - 1 - k (2 h + 2)}) - (\binom{2 n - 2}{n - h - 1 + k (2 h + 2) + 2 h + 1})] .

$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h})],

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 0} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - 2 (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - (2 k + 1) h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$

2 k + 1

$2k+1$

k

$k$

Sorunun nerede olduğu hakkında bir fikrin var mı?

— Hristiyan
kaynak

Sadece temel şeyleri kullanmak istediğinizi söylüyorsunuz, ancak bir kitabın sonucunu kullanıyorsunuz. Mohanty kullandığınız kimliği nasıl elde ediyor?

— Raphael

İlk cümlede "temel" ile ne demek istediğimi tanımlarım: üreten fonksiyonlar yok, karmaşık analizler yok, Fourier analizleri yok. Mohanty kitabında, bu formülü, daha kesin olarak, kafes yollarına yansıma ve dahil etme-dışlama ilkelerini türetmek için temel araçları kullanıyor. (Ben ilkini kullanıyorum.) Eğer ısrar ederseniz, kanıtını sorunun sonuna ekleyeceğim.

— Christian

Hiç de değil, sadece kendi kuralınızı çiğnemediğinizden emin olmak istedim.

— Raphael

Analitik kombinatoriklerin ilkel olduğu düşünülürse, temel olmayan bir teknik olarak listelenen 'fonksiyon oluşturma' ifadesini görmek benim için çok garip. doğası gereği temel olmayan bir değer gibi görünüyor; aradığınızı daha iyi anlamak için merkezi binom katsayısının asimptotiklerinin karşılaştırılabilir bir kanıtı var mı?

\sqrt{π}

$\sqrt{\pi}$

— İkisinin

Yaptığınız ile arasındaki monotonik yollar , ilk kez geçmeden önce yalnızca sınırından kaçınır . Bu nedenle, kullandığınız formül geçerli değildir. $(−h,h)$ $(n−1,n−1)$ $y=x+2h+1$ $y=x+h$

— FrankW
kaynak