Çok daha az kesinlik ile klasik başlık sadece temel yollarla (üreten fonksiyonları, karmaşık analiz, hiçbir Fourier analizi) türetmeye çalışıyorum . Kısacası, "sadece" düğümlü bir ağacın ortalama yüksekliğinin (yani kökten bir yaprağa kadar maksimum düğüm sayısının) karşıladığını .
Anahat aşağıdaki gibidir. Let az yüksekliğe sahip ağaçlar sayı ya da eşit (Kongre ile tüm ve) ağaçların sayısı düğüm yüksekliği h + 1'den büyük veya eşittir (yani, ). Sonra , burada sonlu toplamdır
Bu nedenle, ilk adım asimtotik genişlemesinde B_ {nh} ve ardından ana terimi .
Bu noktada yazarlar B_ {n + 1, h-1} = \ sum_ {k \ geqslant 1} \ left [\ binom {2n} {n + 1-kh} - 2 türetmek için analitik birleştiriciler (üç sayfa) kullanmaktadır.
Kendi girişimim şu şekildedir. Birlikte ağaçların arasında bir eşleşme dikkate kare ızgara üzerinde düğümleri ve monotonik yolları den için çarpı etmeyen (ve iki tür adımdan oluşur: ve ). Bu yollara bazen Dyck yolları veya gezileri denir . Şimdi kafes yolları açısından ifadesini ifade edebilirim : uzunluk 2 (n-1) ve yüksekliğin büyük veya ona eşit Dyck yollarının sayısıdır . (Not: yüksekliğinde bir ağaç, yüksekliğinde bir Dyck yolu ile birleşiyor .)( n - 1 ) × ( n - 1 ) ( 0 , 0 ) ( n - 1 , n - 1 ) ↑ → B n h s s s - 1
Genelliği kaybetmeden, ile başladıklarını varsayıyorum (bu nedenle diyagonalin üzerinde kalın). Her yol için , eğer varsa çizgisini geçen ilk adımı ele alacağım . Kalkış yolu all yukarıda açıdan, değişiklik içine (bu ve tam tersi yansıma hattı wrt ). istediğim yolların ( ) sınırlarından kaçınan ile arasındaki monotonik yollarla birlikte olduğu ve . (Bkz. Şekil .)y = x + h - 1 ↑ → y = x + h B n h ( - h , h ) ( n - 1 , n - 1 ) y = x + 2 h + 1 y = x - 1
Mohanty'nin Klasik Yol Sayma ve Uygulamaları kitabında (1979, sayfa 6) formülü bir kafes içinde tekdüze yolları sayısını sayar için sınırları önlemek olan ve , ve . (Bu sonuç ilk olarak 50'li yıllarda Rus istatistikçiler tarafından tespit edilmiştir.) Bu nedenle, da yeni bir köken göz önüne alındığında , formülün koşullarını yerine : ,(0,0)(m,n)y=x-ty=x+st>0s>0(-h,h)s=1t=2sa.+1.
Sorunun nerede olduğu hakkında bir fikrin var mı?