Knuth, de Bruijn ve Rice'ın “Dikilen Çınar Ağaçlarının Ortalama Yüksekliği” Üzerine (1972)


15

Çok daha az kesinlik ile klasik başlık sadece temel yollarla (üreten fonksiyonları, karmaşık analiz, hiçbir Fourier analizi) türetmeye çalışıyorum . Kısacası, "sadece" düğümlü bir ağacın ortalama yüksekliğinin (yani kökten bir yaprağa kadar maksimum düğüm sayısının) karşıladığını .hnnhnπn

Anahat aşağıdaki gibidir. Let Anh az yüksekliğe sahip ağaçlar sayı ya da eşit h (Kongre ile Anh=Ann tüm hn ve) Bnh ağaçların sayısı n düğüm yüksekliği h + 1'den büyük veya eşittir h+1(yani, Bnh=AnnAnh ). Sonra hn=Sn/Ann , burada Sn sonlu toplamdır

Sn=h1h(AnhAn,h1)=h1h(Bn,h1Bnh)=h0Bnh.
Bu iyi bilinmektedir Ann=1n(2n2n1), n düğümlü genel ağaçlar kümesi , Katalan sayıları ile sayılan n1 düğümlü ikili ağaçlar kümesi ile birlikte .

Bu nedenle, ilk adım Bnh asimtotik genişlemesinde B_ {nh} ve ardından ana terimi Sn .

Bu noktada yazarlar B_ {n + 1, h-1} = \ sum_ {k \ geqslant 1} \ left [\ binom {2n} {n + 1-kh} - 2 türetmek için analitik birleştiriciler (üç sayfa) kullanmaktadır.

Bn+1,h1=k1[(2nn+1kh)2(2nnkh)+(2nn1kh)].

Kendi girişimim şu şekildedir. Birlikte ağaçların arasında bir eşleşme dikkate kare ızgara üzerinde düğümleri ve monotonik yolları den için çarpı etmeyen (ve iki tür adımdan oluşur: ve ). Bu yollara bazen Dyck yolları veya gezileri denir . Şimdi kafes yolları açısından ifadesini ifade edebilirim : uzunluk 2 (n-1) ve yüksekliğin büyük veya ona eşit Dyck yollarının sayısıdır . (Not: yüksekliğinde bir ağaç, yüksekliğinde bir Dyck yolu ile birleşiyor .)( n - 1 ) × ( n - 1 ) ( 0 , 0 ) ( n - 1 , n - 1 ) B n h s s s - 1n(n1)×(n1)(0,0)(n1,n1)Bnhhhh1

Genelliği kaybetmeden, ile başladıklarını varsayıyorum (bu nedenle diyagonalin üzerinde kalın). Her yol için , eğer varsa çizgisini geçen ilk adımı ele alacağım . Kalkış yolu all yukarıda açıdan, değişiklik içine (bu ve tam tersi yansıma hattı wrt ). istediğim yolların ( ) sınırlarından kaçınan ile arasındaki monotonik yollarla birlikte olduğu ve . (Bkz. Şekil .)y = x + h - 1 y = x + h B n h ( - h , h ) ( n - 1 , n - 1 ) y = x + 2 h + 1 y = x - 1y=x+h1y=x+hBnh(h,h)(n1,n1)y=x+2h+1y=x1

Mohanty'nin Klasik Yol Sayma ve Uygulamaları kitabında (1979, sayfa 6) formülü bir kafes içinde tekdüze yolları sayısını sayar için sınırları önlemek olan ve , ve . (Bu sonuç ilk olarak 50'li yıllarda Rus istatistikçiler tarafından tespit edilmiştir.) Bu nedenle, da yeni bir köken göz önüne alındığında , formülün koşullarını yerine : ,(0,0)(m,n)y=x-ty=x+st>0s>0(-h,h)s=1t=2sa.+1.

kZ[(m+nmk(t+s))(m+nn+k(t+s)+t)],
(0,0)(m,n)y=xty=x+st>0s>0(h,h)s=1t=2h+1ve hedef nokta (sağ üst köşe) artık . Sonra Bu bu da Beklenen formülle fark , tüm pozitif tamsayılar ( ) yerine tek sayıları ( ) .(n+h1,nh1)
Bnh=kZ[(2n2n+h1k(2h+2))(2n2nh1+k(2h+2)+2h+1)].
Bn+1,h1=kZ[(2nn+1(2k+1)h)(2nn(2k+1)h)],
Bn+1,h1=k0[(2nn+1(2k+1)h)2(2nn(2k+1)h)+(2nn1(2k+1)h)].
2k+1k

Sorunun nerede olduğu hakkında bir fikrin var mı?


Sadece temel şeyleri kullanmak istediğinizi söylüyorsunuz, ancak bir kitabın sonucunu kullanıyorsunuz. Mohanty kullandığınız kimliği nasıl elde ediyor?
Raphael

İlk cümlede "temel" ile ne demek istediğimi tanımlarım: üreten fonksiyonlar yok, karmaşık analizler yok, Fourier analizleri yok. Mohanty kitabında, bu formülü, daha kesin olarak, kafes yollarına yansıma ve dahil etme-dışlama ilkelerini türetmek için temel araçları kullanıyor. (Ben ilkini kullanıyorum.) Eğer ısrar ederseniz, kanıtını sorunun sonuna ekleyeceğim.
Christian

Hiç de değil, sadece kendi kuralınızı çiğnemediğinizden emin olmak istedim.
Raphael

Analitik kombinatoriklerin ilkel olduğu düşünülürse, temel olmayan bir teknik olarak listelenen 'fonksiyon oluşturma' ifadesini görmek benim için çok garip. doğası gereği temel olmayan bir değer gibi görünüyor; aradığınızı daha iyi anlamak için merkezi binom katsayısının asimptotiklerinin karşılaştırılabilir bir kanıtı var mı? π
İkisinin

Yanıtlar:


2

Yaptığınız ile arasındaki monotonik yollar , ilk kez geçmeden önce yalnızca sınırından kaçınır . Bu nedenle, kullandığınız formül geçerli değildir.(h,h)(n1,n1)y=x+2h+1y=x+h

Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.