Sertlik ve azalma yönleri

Diyelim ki A probleminin zor olduğunu biliyoruz, o zaman B'yi de zor olduğunu kanıtlamak için A'yı bilinmeyen B sorununa indirgiyoruz.

Örnek olarak: 3 rengin zor olduğunu biliyoruz. Sonra 3-rengi 4-rengine indiriyoruz. 3 renklendirmedeki renklerden birini karıştırarak 4 renklendirmeye sahip olursunuz, ergo 4 renklendirmesi zordur.

İşte böyle. Peki bu neden 4 renklendirmenin zor olduğunun bir kanıtı? 3-renklendirme problemini çözmek için 4-renklendirme probleminin çözümünü kullanabiliyor musunuz? Öyleyse nasıl? Değilse, neden geçerli bir kanıttır?

Bonus q: Polinom indirimlerinin her iki yönde de yapılabilmesi gerekir mi?

Düzenleme: Eğer bu bir örnek olarak neden bu kadar açıklamak mümkün olsaydı internet bir iyilik yapardı. Bunu hiçbir yerde somut bir şekilde açıklayamadım.

Bir sorun, gelen bir azalma bir problemi bir dönüşümdür bir örneğinin ait örneği içine ait olduğu gibi$A$$B$$f$$a$$A$$f(a)$$B$

Eğer ilgilendiğiniz karmaşıklığı koruyarak bir dönüşümdür (örneğin dikkate eğer bir polinom dönüşümdür sonra bir algoritma varlığı -hardness) çözme çözme bir algoritma varlığını ima : , sonra çalıştırmak .$f$$f$$\mathsf{NP}$$\mathcal A_B$$B$$A$$f$$\mathcal A_B$

Bu nedenle bu tür bir azalma varlığı için araçlarının fazla olmayan daha kolaydır . Diğer şekilde bir azaltmaya gerek yoktur.$A$$B$$B$$A$

Örneğin, grafik renklendirme için. 3 renklendirmeyi 4 renklendirmeye azaltabilirsiniz, ancak hemen değil. Bir grafiği alırsanız ve seçerseniz,$G$$f(G)=G$$x∈3\mathsf{COL}$ $⇒$ $f(x)∈4\mathsf{COL}$ ancak elbette . Sonuç denklik olmasıdır , böylece riayet edilmemesi olduğunu değil bir azalma.$f(x)∈4\mathsf{COL}$ $⇒$ $x∈3\mathsf{COL}$$(E)$$f$

Bir doğru indirgeme oluşturabilir den için ama daha karmaşık bir işlemdir: bir grafik için , izin olarak grafik başka bir düğüm ile genişletilmiş olan bir kenara diğer düğümlere bağlanır.$f$$3\mathsf{COL}$$4\mathsf{COL}$$G$$f(G)$$G$$u$

• Dönüşüm karmaşıklığı koruyor (polinom, burada);
• Eğer içinde o olduğu : sadece dördüncü renk kullanmak ;$G$$3\mathsf{COL}$$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$
• Eğer içinde o zaman hariç tüm düğümlerin olduğunu kanıtlayan olmayan bir renk 'in, bu nedenle içinde .$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$$u$$G$$3\mathsf{COL}$

Bu kanıtlıyor$f$ bir azalma ve $4\mathsf{COL}$ daha zor $3\mathsf{COL}$. Aynı şekilde kanıtlayabilirsiniz$n\mathsf{COL}$ daha zor $m\mathsf{COL}$ herhangi $n≥m$ilginç bir kanıt, in herhangi bir den daha zor .$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$