İyi akşamlar! Aslında, Archives Nationales of France'da staj yapıyorum ve grafikleri kullanarak çözmek istediğim bir durumla karşılaştım ...

I. Tozlu durum

Arşiv maliyetlerini en aza indirmek için kütüphanemin kitaplarının yüksekliğine göre düzenlenmesini optimize etmek istiyoruz. Kitapların yüksekliği ve kalınlığı bilinmektedir. Kitapları zaten yüksekliklerine göre (en iyi şey olup olmadığını bilmiyorum ama ... bu şekilde yaptık). Her bir kitabın kalınlığı bilerek, her biri için belirleyebilir , kendi düzenleme için sınıf gerekli kalınlığa çağrı (örneğin, olan kitaplar toplam kalınlığa sahip olabilir uzun ).$H_1,H_2,\dots,H_n$$H_i$$L_i$$H_i = 23\,\mathrm{cm}$$L_i = 300\,\mathrm{cm}$

Kütüphane, istenilen uzunluğu ve yüksekliği belirten raflar üretebilir (derinlikle ilgili sorun yoktur). yüksekliği ve uzunluğundaki bir rafın maliyeti ; burada sabit bir maliyettir ve uzunluk birimi başına rafın maliyetidir.$H_i$$x_i$$F_i+C_ix_i$$F_i$$C_i$

yüksekliğinde bir rafın, yüksekliğindeki kitapları ile depolamak için kullanılabileceğini . Maliyeti en aza indirmek istiyoruz.$H_i$$H_j$$j\leq i$

Öğretmenim bu sorunu bir yol bulma problemi olarak modellememi önerdi. Model içerebilir formu endeksli köşe ile . Akıl hocam ben değerleme çalışmak mevcut koşullar, her kenar anlamlara ve nasıl işe önerdi kenarına bağlantılı . Ayrıca diğer çözümlerin yanı sıra içgörülerle de iyi olurum.$n+1$$0$$n$$v(i,j)$$(i,j)$

Örneğin, Sözleşme için (Fransız Tarihinin karanlık bir dönemi) böyle bir dizi var:

II. Stajyer kitap kurdu varsayımları

Sanırım Djikstra, Bellman veya Bellman-Kalaba arasında bir algoritma hesaplamalıyım ... Aşağıdaki alt bölümlerden hangisini bulmaya çalışıyorum.

1.Conditions

Biz Vertice arasında pathfinding bir problem ile burada ve Vertice , giden olmalıdır zorunluluk arasında var) demek, bir yol (ya da yürüyüş olduğunu ( ve$0$$n$$n$$0$$0$$n$

2.Nasıl hesaplanmalı (güncellendi (25/10/2015))

// Hangi köşeleri ve hangi kenarları modelleyeceğimizi bilmediğim sürece hala işlem görüyor ...

En iyi tahminim

Sanırım diziden en kısa yolu her bulduğumuzda en az bir tür raftan kurtuluyoruz, ama bu sadece benim varsayımım;;).

Rafları nasıl satın alacağımızı ve kitaplarımızı nasıl depolayacağımızı modellemenin en iyi yolunun aşağıdaki grafik gibi görünmesi gerektiğini düşünüyorum (ancak, lütfen yöntemimi eleştirmekten çekinmeyin!;))

köşe:

• $i\in[1,4]$ kitaplarımızı saklamak için kullanabileceğimiz raflardır.
• $0$ hiçbir kitabın saklanmadığı durumdur. Bu köşeyi kullanmak, her bir maliyet formülünü (kenarları) kullanmama izin veriyor.

kenarlar: bir tür kullanan maliyetlerdir. örneğin: fom 0, parşömenlerimizi, el yazmalarımızı saklamak için sadece tip 1 rafları kullanan maliyettir ...$F_i+C_ix_i,i\in[1,4]$$F_1+C_1x_1$

Ancak buradan en kısa yol problemimi nasıl oluşturacağımı bilmiyorum.

Gerçekten de, tüm kitaplarımı nereye koyacağımı bilemezdim.

Bu beni başka bir fikre götürüyor ...

diğer bir fikir...

Burada, belirli bir tepe noktasından 0 durumuna en kısa yolu arıyorum, yani en yüksek belgenin boyunda olduğunu bilerek, belgelerimi düzenlemek için en ucuz yolu arıyorum.$type \ i$

köşe:

• $i\in[1,4]$ kitaplarımızı saklamak için kullanabileceğimiz raflardır.
• $0$ , tüm kitapların saklandığı durumdur. Bu köşeyi kullanmak, her bir maliyet formülünü (kenarları) kullanmama izin veriyor.

kenarlar: bir tür kullanan maliyetlerdir. örneğin: , parşömenlerimizi, el yazmalarımızı saklamak için rafları kullandıktan sonra rafları kullanan maliyettir ...$F_i+C_ix_i,i\in[1,4]$$F_1+C_1x_1$$type \ 1$$type \ 3$

Yine de, nereye koyacağımı bilmiyorum .$F_4+C_4x_4$

3. nasıl hesaplanır

Sanırım daha küçük rafları saklayabildiğimiz kadar yüksek raflarla başlamamız gerekiyor ...

Yapmak

Biz almak ile bir cm kendi yüksekliği + bir rafa yükseklik bir cm'lik o alarak daha pahalı hale gelinceye kadar yükseklik rafa. o zaman$L_n$$H_{i=n}$$z$$H_{i=n-1}$$H_{i=n-1}$$i=i-1$

Ben> <0

Sonunda, x'i nasıl değiştireceğim bilmiyorum ...

Yani belgelerini örneğin ya da nasıl yerleştireceğinizi söyleyebiliriz .$x_i$$4$$3$

"Bunu Dijkstra'nın algoritmasıyla çözmek istiyorum, ama üzerinde çalışmak için iyi bir grafik ayarlayamıyorum" diye sorduğunuzu görüyorum, bu yüzden size böyle bir grafik sunacağım.

Köşelerin raflanmış kitap setleri olduğu bir digrafidir.

Tamam, yükseklikleri olan kitaplarımız var $H_n,$ $1 \le n \le N$ ve genişlikleri $W_n,$ her kitap için artan düzende ve onları raflarda gruplandırmak istiyoruz.

Çözüm düğümleri için bu sayıları yeniden kullanın $n,$ bu düğüm bir çözüm durumunu temsil eder "tüm kitaplar $i \le n$ "Bu yüzden düğümde başlayacağız $0$ ve düğüme gitmeye çalışmak $N$Dijkstra'nın algoritmasıyla en kısa yoldan. Bu düğümler grafiğimizin köşe noktalarıdır.

Daha sonra düğümden çiziyoruz $i$ herhangi bir düğüme $j \gt i$ bu ara kitapların hepsinin bir rafla rafa kaldırılacağını varsayan bir yön, yani bu kenarın uzunluğu

Dijkstra'nın algoritması bize düğüme en kısa yolu verecektir $N.$

Sanırım senin sorununun bir çözümü var. Umarım probleminizin tanımında yanlış bir şey anlamadım. İşte gidiyor:

Dinamik Programlama yaklaşımını anlatacağım. Bu bir$O(n^{2})$ algoritması, yani kitap sayısı çok büyük olduğu için size çok yardımcı olmayacak. (biraz değiştirmelisiniz!). Bazı çalışmalarda, söz konusu Dinamik Programlama yaklaşımını Yönlendirilmiş Bir Döngüsel Olmayan Grafik üzerindeki en kısa yolu bulma örneğine dönüştürebilirsiniz. (Hangi kendisi dinamik bir programlama algoritmasıdır: P)

Varsayalım $n$ farklı yükseklikteki kitaplar.

Ayrıca, kitapların $i$ yükseklik rafları $h_{1},h_{2},...,h_{i}$ nerede $h_{1}<h_{2}<...<h_{i}$.

Aşağıdaki iki şeyi kanıtlayalım:

A. $C_{a}>C_{a-1}$

Aksine düşünün. İzin Vermek$B_{a-1}$ rafa atanmış kitap seti olmak $a-1$ Sonra $cost = other,stuff + C_{a-1}*thickness(B_{a-1})$

O zamandan beri, $C_{a}<C_{a-1}$, tüm raf kitaplarını aktaralım $a-1$ için $a$ (o zamandan beri mümkün $h_{a-1}<h_{a}$.

Peki şimdi, $cost =other,stuff + C_{a}*thickness(B_{a})$öncekinden daha düşük. Dolayısıyla, varsaydığımız Optimality nedeniyle bir çelişki var.

Yani $C_{a}>C_{a-1}$ oluşturulan tüm raflar için

B. Bırakın $j$ rafa atanmış bir kitap ol $a$. Kanıtlayalım$height(j)>h_{a-1}$

Bu oldukça kolaydır. Eğer$height(j)$ daha küçüktü $h_{a-1}$ kitabı rafa koyabilirdik $a-1$ daha iyi bir maliyet için (A nedeniyle).

Kanıtladığımız iki şeyden B, önemli olanı.

İzin Vermek $dp[a]$= kitap rafları için en uygun maliyet $1...a$ böylece bir raf var $height(a)$. Tanımlamak için bir yol bulmalısın$dp[a]$ değerlere göre $dp[1],dp[2],....dp[a-1]$

Burada duracağım. Dinamik Programlama hakkında bilginiz varsa, B olgusunu kullanarak, kolayca nüks elde edersiniz. Aksi takdirde sorun :). Dediğim gibi, bu bir DAG problemine dönüştürülebilir. Yukarıdaki ilişkiyi bilerek, kenarın ne olduğunu anlamak kolaydır$(a,b)$ maliyetini ifade eder ve tanımlar.

Son olarak, yukarıda da belirttiğim gibi, kitaplar büyük olduğundan algoritmayı her kitap için kullanamazsınız. Yüksekliğini kalınlığının toplamı ile temsil etmenin hile yapması gerektiğini düşünüyorum. (Sanırım ifadenizden zaten böyle)

(Farklı yüksekliklerin kitap sayısından çok daha az olduğunu tahmin ediyorum)

Bazen literatürdeki "en yakın problem" üzerine "yakınlaştırma" yapmak, problemin arkasındaki teori ve arka planı anlamaya, bir soyutlama oluşturmaya ve sahte ayrıntıları ortadan kaldırmaya yardımcı olabilir. Literatürde size en yakın sorun "değişken boyutlu çöp paketleme problemi" olarak bilinir. Örnek belgeler aşağıda verilmiştir. Bu problem teorik olarak çok çalışılmıştır ve bazı hazır yazılımlar mevcuttur, örneğin kamyon nakliye konteynırlarındaki ambalaj kutularını optimize etmede ortaya çıkar. Ayrıca konteyner boyutunu ayarlayabileceğiniz versiyonlar da vardır. Birçok algoritmik yaklaşım vardır. örneğin 1 den ^st kağıdı:

Bu makalede ele alınan sorun, belirli bir dikdörtgen şekilli ürün setini minimum sayıda üç boyutlu dikdörtgen kutuya dik olarak paketlemektir.

• SİMÜLASYON İLE ÜÇ BOYUTLU HAZNELİ AMBALAJIN OPTİMİZASYONU / Dube, Kanavathy

• Belirsiz Hacim ve Kapasitelerle Çöp Kovası Paketleme Sorunu / Peng, Zhang

• 3d bin paketleme algoritmaları , stackoverflow