P NP nasıl kanıtlanır ?

Bunun çok aptalca (veya belirtilemeyecek kadar açık) bir soru gibi göründüğünün farkındayım. Ancak, bir noktada kafam karıştı.

Bunu gösterebiliriz P NP$=$ biz çözer hiçbirinde sorun örneğini verdiği o bir algoritma tasarlayabilir ve ancak eğer NP polinom zamanda.

Ancak, ben yeryüzünde bunu kanıtlayabilirim anlamıyorum P NP . Lütfen bu kadar alakasız olabileceğinden aşağıdaki benzeşim için özür dilerim, ama birisine P'nin NP'ye eşit olmadığını kanıtlamasını söylemek bana birisinin Tanrı'nın var olmadığını kanıtlamasını söylemek gibi görünüyor.$\neq$

Bir takım sorunlar var, bunlar mevcut teknolojiden bağımsız olarak polinom sayısı olan deterministik olmayan bir Sonlu Otomata (NFA) tarafından çözülemiyor (bunun özensiz bir tanım olduğunu biliyorum). Buna ek olarak, bazı önemli problemleri (en kısa yol, minimum yayılan ağaç ve hatta tamsayılarının toplamı ) polinom-zaman problemleri yapan oldukça büyük bir algoritma setimiz var.$1 + 2 + \dots + n$

Kısacası sorum: P NP$=$ olduğuna inanıyorsam, "o zaman polinom zamanında NP problemini çözen algoritmanızı gösterin !" İnanıyorum ki varsayalım P NP . O zaman tam olarak ne sorardınız? Ne göstermemi istersiniz?$\neq$

Cevap açıkça "kanıtınız" dır. Ancak, bir algoritmanın var olamayacağına dair ne tür kanıtlar var? (bu durumda NP problemi için polinom zaman algoritması )

P NP$\,\neq\,$ olduğunu kanıtlayabilmenin üç ana yolu var .

1. NP'de olan ancak P'de olmayan bir  sorun olduğunu gösterir  . Muhtemelen karşılaştırma tabanlı sıralamanın  öğenin bir listesini sıralamak için zaman gerektiğine dair kanıtları . Bir prensipte, benzer 3SAT ya da başka bir gösteren kanıt üretebilir NP Komple süreler içinde çözülemez herhangi bir sabit için  . Geometrik Karmaşıklık Teorisi , problemlerin sahip olduğu simetrileri göz önüne alarak cebirsel geometri ve grup temsil teorisinden bu tür alt sınırları kanıtlamak için araçlar kullanmayı amaçlamaktadır. Devre Karmaşıklığı başka bir şeydir.n O ( n c ) $\Omega(n\log n)$$n$$O(n^c)$$c$

2. Bu Gösterilen P ve  NP farklı yapısal özelliklere sahiptir. Örneğin, P  tamamlama altında kapatılır. NP co-NP'nin$\,\neq\,$ (yani NP'nin  tamamlama altında kapalı olmadığını) gösterebiliyorsanız, P NP olmalıdır$\,\neq\,$ . Tabii ki, bu sadece sorunu bir seviye daha derine itiyor - NP co-$\,\neq\,$ nasıl kanıtlarsınız ?

   Başka bir olasılık, NP'nin  tam olarak varoluşsal ikinci dereceden mantık olarak adlandırılabilecek bir şeyde tanımlanabilecek sorun sınıfı olduğunu bilmemizdir . Tam olarak P'ye karşılık gelen bir mantık olmadığını gösterebilirse  (veya bir mantık varsa ancak 'dan farklıysa ), P ve  NP farklı olmalıdır. Bununla ilgili (aslında eşdeğer) bir fikir, P'nin  birinci dereceden mantık tarafından tanımlanan indirimler altında tam problemleri olmadığını göstermesidir , çünkü NP'nin  bu indirimler altında tam problemleri olduğu bilinmektedir .$\exists\mathrm{SO}$

3. Bazı problemlerin NP eksik olmadığını kanıtlayın . Eğer P NP$\,=\,$ , daha sonra her önemsiz olmayan sorun  NP olan NP -tamamlamak polinom zamanlı altında birçok kimse azalmalar ( "önemsiz olmayan" burada değil demektir veya  ). Eğer bazı sorun olduğunu gösterebilir Yani,  NP değil NP -tamamlamak, o zaman olmalıdır P NP .Σ $\emptyset$$\Sigma^*$ $\,\neq\,$

Kısacası sorum: P = NP olduğuna inanıyorsam, "o zaman polinom zamanında NP problemini çözen algoritmanızı gösterin !"

Hala algoritmanızın sorunu çözdüğünü ve polinom zamanında çalıştığını kanıtlamanız gerektiğini unutmayın.

Diyelim ki P ≠ NP'ye inanıyorum . O zaman tam olarak ne sorardınız? Ne göstermemi istersiniz?

İlk olarak, "neden" P ≠ NP'yi ve bu nedenin neden P ≠ NP'yi uygun bir mantıksal çerçevede kanıtlamak için kullanılabileceğini açıklamaya çalışın . Sonra bir kanıt çizin ve en şüpheli kısımlarının nasıl savunulacağını açıklayın. Daha sonra, bu kanıtı bağımsız olarak doğrulanabilen daha basit ifadelere bölün.

• Örneğin, ZFC tarafından sağlanan mantıksal çerçeve (belirli bir anlamda çok iyi bile) modellerin varlığını kanıtlamada iyidir (açıkça verilen aksiyom kümelerinin, çoğu zaman ek metalojik özellikleri bile tatmin eder). P ≠ NP için bazı garip özelliklere sahip bir modelin varlığına ilişkin bir neden biliyorsanız , önce bu nedeni açıklayın ve sonra karşılık gelen modelin ZFC içinde nasıl oluşturulabileceğini gösterin.
• Örnek olarak, P ≠ NP'nin "neden" in bir nedeninin , matematiğin rasgele dahil fiziksel dünyada meydana gelen hemen hemen her şeye yaklaşabileceğine inanıyorum. Bununla birlikte, resmi sistemlerin belirli bir dize, sayı, "nesne" veya "artefaktın" esasen rastgele olduğunu kanıtlama yetenekleri açısından çok sınırlı olduğu bilinen bir gerçektir, bu nedenle bu nedenin bir kanıt için kullanılabilmesi olası değildir. açıkça verilen herhangi bir deterministik biçim sisteminde. Belki olasılıklı (kuantum) bir kanıt sistemi tasarladıysanız, mevcut fiziksel kaynaklarınıza bağlı olarak sistemdeki belirli kanıtları yalnızca sonlu bir olasılığa kadar doğrulayabilirsiniz ...
• Muhtemelen bir örnek olarak, hariç tutulan ortadaki yasa temel olarak (matematiksel) evrenin statik bir görünümünü yansıtır ve bu nedenle dinamik bir evrende tutulması son derece düşüktür . Şimdi NP = coNP (veya polinom hiyerarşisinin başka herhangi bir çöküşü) temelde zaman karmaşıklığına göre dışlanmış orta yasasının yaklaşık bir versiyonudur, ancak zaman karmaşıklığı bunun mümkün olabilmesi için dinamik bir evrene çok yakındır. Girard'ın doğrusal mantığı gibi, evrenin dinamik yönlerini yakalayabilen mantıksal çerçeveler var, bu yüzden ... Ancak Brouwer'ın benzer bir durumda olduğunu ve Hilbert'in programının açılış adresi Sezgisel ve Formalizmde gerekli olduğunu zaten belirttiğini unutmayın. 1912'de (bunun neden dairesel akıl yürütme olacağını açıklayan), ama yine de Gödel'in 1930'dan kalma eksiklik kanıtını çizemedi.
• Yaklaşık bir örnek olarak, P ≠ NP için mevcut kanıtlardan bazılarını , yani seyahat eden satıcı politopu için üstel alt sınırı ve zayıf güvercin deliği ilkeleri nedeniyle tatmin edilebilirlik için çözüme dayalı prosedürlerin uygulanamazlığını yakalamaya çalışalım.. Bu durumda "neden", belirli bir NP-tamamlama problemleri sınıfının, TSP için doğrusal programlama formülasyonları veya çözünürlük temelli gibi belirli doğal (dikkate alınan NP-tamamlama problemleri sınıfı için) prensiplere dayanan algoritmalar ile verimli bir şekilde çözülememesidir. SAT için ispat yöntemleri. Farklı makaleler bunun bir şeyi kanıtlamak için kullanılabileceği farklı bağımsız nedenler verdi, örneğin TSP'deki son makale, örneğin "LP'lerin yarı zamanlı programlama reformları ile tek yönlü kuantum iletişim protokolleri arasında yakın bir bağlantı", son çözümleme makalesi ise "Güvercin deliği prensibini temsil eden bir formül sınıfı ve rastgele oluşturulmuş formüller için" alt sınırlarından bahsetmiştir.
  Ayrıca sonuçları zaman içinde güçlendirmeye çalışıldığını da gözlemleyebilirsiniz. TSP için ilk sonuçlar sadece simetrik doğrusal programlama formülasyonu ile ilgiliyken, en son sonuçlar böyle bir kısıtlamaya sahip değildir ve TSP'ye ek olarak maksimum kesme ve maksimum kararlı set problemleri için de geçerlidir. Çözüm için ilk sonuçlar sadece temel Davis-Putnam çözüm prosedürleri ve tek bir yapay karşı örnek sınıfı olarak kabul edilirken, en son sonuçlar büyük çözünürlük tabanlı yöntem sınıflarını kapsamakta ve doğal olarak oluşan karşı örneklerin birden fazla sınıfını vermektedir.
  TSP için, belki TSP, maksimum kesim ve maksimum kararlı sete ek olarak daha fazla probleme başvurarak sonuçların nasıl daha da güçlendirilmesi gerektiği konusunda hiçbir fikrim yok. Çözüm için, sonuçları nasıl daha da güçlendireceğime dair birçok fikrim olurdu, ancak bağlantılı olduğum makale 2002'den Stephen Cook ve Phuong Nguyen , 2010'da göz atmadığım bir Kanıt Karmaşıklığının Mantıksal Temelleri adlı bir monograf yayınladı ve ben sanırım zaten birçok fikrimi kapsayacak. P ≠ NP'ye olan ilgimize rağmen, bu sonuçların zaman içinde ne kadar güçlendirildiğini çoğumuz için aslında ne kadar az fark yarattığını belirtmek ilginçtir.soru. Bu arada, kesme kuralı eşdeğeri olmayan mantıksal sistemlere dayanan algoritmaların tatmin edilebilirlik sorunlarını etkili bir şekilde çözemediği kanıtlanmış olsa bile, yine de P on NP'de hiçbir ilerleme olmadığına, sorunun aslında hala her zamanki gibi çok açık.