Köşegenleştirme, öz referans veya indirgenebilirlik dışındaki nedenlerden dolayı tespit edilemez olduğu bilinen belirli bir problem var mı?

Bildiğim her çözülemeyen sorun aşağıdaki kategorilerden birine giriyor:

Köşegenleştirme nedeniyle çözülemeyen problemler (dolaylı öz referans). Bu problemler, durma problemi gibi, kararsızdır, çünkü davranışı çelişkiye yol açan bir TM oluşturmak için dilin iddialı bir karar vericisini kullanabilirsiniz. Ayrıca, Kolmogorov'un karmaşıklığı ile ilgili olarak saptanamayan birçok sorunu bu kampa götürebilirsiniz.
Doğrudan referans olması nedeniyle çözülemeyen problemler. Örneğin, evrensel dilin aşağıdaki nedenden ötürü kararsız olduğu gösterilebilir: eğer karar verilebilirse, Kleene'nin özyineleme teoremini kendi kodlamasını alan bir TM oluşturmak için kullanmak mümkün olacaktı, kendi girişini kabul edip etmeyeceğini sormak mümkün olacaktı. , tam tersi yapar.
Mevcut kararsız sorunlardan kaynaklanan indirimler nedeniyle kararsız olan sorunlar. Buradaki iyi örnekler, Yazışma Sonrası Problemi (durma probleminden azalma) ve Entscheidungsproblem'i içerir.

Hesaplanabilirlik teorisini öğrencilerime öğrettiğimde, birçok öğrenci de bu konuyu ele alıyor ve çoğu zaman bir nevi kendi kendine referans kandırıcılığını izlemeden kanıtlayamayacağımız herhangi bir sorunun olup olmadığını soruyor. Yapıcı olmayan bir biçimde, TM sayısını, dil sayısına bağlayan basit bir kardinallik argümanı ile sonsuz sayıda belirsiz sorun olduğunu kanıtlayabilirim, ancak bu, karar verilemez bir dilin belirli bir örneğini vermez.

Yukarıda listelenmeyen nedenlerden dolayı kararsız olduğu bilinen diller var mı? Eğer öyleyse, bunlar nelerdir ve kararsızlıklarını göstermek için hangi teknikler kullanılmıştır?

computability proof-techniques undecidability

— templatetypedef
kaynak

@EvilJS Anladığım kadarıyla, oradaki kararsızlık kanıtı, belki de yanılsam da, TM'leri simüle etme yeteneğini içeriyordu.

— templatetypedef

Rice'ın teoreminin bu kategorilerin hiçbirine uymayabileceğini, ancak teoremin ispatının uygun olduğunu söyleyebilirsiniz.

— Ryan,

@EvilJS Bu iyi bir nokta. Gerçekten, burada aradığım şey, kullanabileceğimiz temelde farklı bir teknik olup olmadığı. Örneğin, birileri bir problemi, TM'nin kendi kendine referansı veya bir Godeling-tipi argümanla bilinen bir ilişkisi olmadığı durumlarda tespit edilemez olarak tanımlasaydı iyi olurdu. Yapabileceğimizin en iyisi "bunu uzun zaman önce ortaya çıkardık, daha sonra başka bir yolla kanıtlamanın daha kolay olduğunu" düşündüysek, bir anlamda bir cevap olurdu - yukarıdaki üç teknik temel olarak tüm kanıtlarını açıklar. Bilmediğimiz kararsızlık.

— templatetypedef

Meşgul kunduz işlevi, herhangi bir programın hesaplaması için çok hızlı büyür. Daha somut olarak, bir işlev tanımlayabilir

olarak artı en az uzunlukta bir program tarafından hesaplanan en büyük sayı

. Bu köşegenleştirme olarak sayılıyor mu?

f (n)

$f(n)$

n

$n$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Belki de burada çok katı oluyorum, ama bu bana köşegen tip bir argüman gibi geliyor: TM tarafından hesaplanan tüm fonksiyonlardan farklı olarak tanımlanmış bir fonksiyon oluşturuyorsunuz.

— templatetypedef

Yanıtlar:

Evet, böyle kanıtlar var. Onlar dayanmaktadır Düşük Temeli Teoremi .

Bkz bu cevabı için herhangi deliller yok durdurulması sorunun kararlaştırılamazlık kendinden referanslı veya Hamiltonieninin orada bağlıdır Are? Daha fazlası için cstheory hakkında soru.

— Kaveh
kaynak

Hesaplanabilirlik teorisindeki ileri tekniklerle ilgilenen biri varsa, o zaman Robert I. Soare'nin Recursively Enumerable Sets ve Dereceleri ve Hesaplanabilirlik Teorisi ve Uygulamaları adlı kitaplarını inceleyin .

— Kaveh

Yanılıyorsam düzelt, fakat düşük temel teoreminin ispatı bir işlevselliğin kendisine uygulanmasını ve bir değer üretip üretmediğini sormayı gerektirmiyor mu? Eğer öyleyse, bu sadece diyagonal bir argümanın tepesinde bir dolaylandırma katmanı değil midir?

— templatetypedef

@templatetypedef, Ben bir uzman değilim ama hayır anladığım kadarıyla Soare'nin kitabındaki sayfa 109'e bakınız .

— Kaveh

@templatetypedef, ps1: köşegenleştirmeyi düşündüğümüz hakkında soruda bir belirsizlik var. Dikkatli olmazsak, her seferinde köşegenleştirme olduğunu düşündüğüm şeyi genişletebiliriz, olmayan bir şey görürüz. Belirli bir sınıftan herhangi bir nesneye eşit olmamak için, örneğin öncelikli yöntemleri veya nesnelerin parçalarını inşa etmenin genel yöntemlerini alın.

— Kaveh

@David, :) Paylaşmak istediğim kitabı sayfamdan açıyorum, üstteki paylaşım butonuna tıklıyorum ve link dışında idve dışındaki parametreleri kaldırıyorum pg.

— Kaveh

bu tam olarak olumlu bir cevap değil, yaratıcı bir bakış açısıyla sorulanın yakınında bir şeye teşebbüs etmek. fizikte şu anda kararsızlığın matematiksel / teorik formülasyonlarından "uzak" olan oldukça az sayıda problem vardır ve bunlar durma problemini içeren orijinal formülasyonlardan "uzak" ve "çok az benzerlik taşımaktadır"; Elbette kökündeki durma problemini kullanıyorlar, ancak muhakeme zincirleri gittikçe uzaklaştı ve güçlü bir "uygulamalı" özellik / yapıya sahip oldu. Maalesef, bu alanda henüz herhangi bir büyük araştırma görünmüyor. Çok dikkat çeken fizikte “şaşırtıcı şekilde” kanıtlanamayan bir problem:

Spektral boşluğun belirlenemezliği / Cubitt, Perez-Garcia, Wolf

Spektral boşluk - temel durum ile sistemin ilk uyarılmış hali arasındaki enerji farkı - birçok vücut fiziğini ölçmek için merkezi bir noktadır. Haldane varsayımı, boşluklu topolojik spin sıvı fazlarının varlığı ve Yang-Mills boşluk farkı varsayımı gibi birçok zorlu açık problem, spektral boşluklarla ilgilidir. Bu ve diğer problemler, genel spektral boşluk probleminin özel durumlarıdır: kuantum çok cisimli bir sistemin Hamiltonyenine göre, boşluklu mu yoksa boşluksuz mu? İşte bunun kararsız bir problem olduğunu kanıtlıyoruz. Spesifik olarak, spektral boşluk probleminin tespit edilemeyeceği, translasyonel olarak değişmeyen, en yakın komşu etkileşimleri olan iki boyutlu bir kafes üzerine kuantum spin sistemlerinin ailelerini kuruyoruz. Bu sonuç, diğer düşük enerji özelliklerinin kararsızlığını arttırmaktadır,

Bu soruda gözlemlediğiniz şey, (gayrı resmi olarak) kararsızlık kanıtlarının hepsinin kendine özgü bir "kendine referans" yapısına sahip olduğudur ve bu, hem Turing durma probleminin hem de Godels teoreminin yapabileceği şekilde daha ileri matematikte resmen kanıtlanmıştır. aynı temel olgunun örnekleri olarak görülüyor. bakınız örneğin:

Durma problemi, hesaplanamayan kümeler: ortak matematiksel kanıt?

Durma teoremi, Cantor teoremi (bir kümenin izomorfizmi ve güçlülüğü) ve Goedel'in eksiklik teoremi, epimorfik bir harita varsa, herhangi bir kartezyen kapalı kategorisi için şunu söyleyen Lawvere sabit nokta teoreminin örnekleridir: A → (A⇒B) sonra her f: B → B sabit bir noktaya sahiptir.

Ayrıca, Hofstadter'in kitaplarındaki öz-referans ve kararsızlığın birbirine bağdaştırılmasının bu teması üzerine uzun bir meditasyon var. Kararsızlık sonuçlarının yaygın olduğu ve başlangıçta biraz "şaşırtıcı" olduğu başka bir alan fraktal olaylarla ilgilidir. doğada belirsiz olayların kesişen görünüşü / önemi, bu noktada, neredeyse Wolfram tarafından "hesaplamalı denklik ilkesi" olarak gözlenen, bu noktada neredeyse kabul görmüş bir fiziksel ilkedir .

— vzn
kaynak

Diğer karar verilemezlik alanları "şaşırtıcı / uygulamalı" periyodik olmayan tilings , Conway nihai stabilizasyonu Yaşam oyununda ( hücresel otomata )

— vzn

Anladığım kadarıyla, bu sorunların hepsinin kararsız olduğuna dair kanıtların, durma sorunundan kaynaklanan indirimlerin azalmasına yol açtığıdır. Bu yanlış mı?

— templatetypedef

Bu sorunun cevabı temel olarak (bilinen bütün kararsızlık sonuçlarının durma sorununa indirgenebileceği) kabul eder. Sorunuz neredeyse bir varsayım olarak ifade edilir ve bu konuda çelişkili herhangi bir bilginin farkında değilim ve bunun lehine çok fazla sayıda kanıt görüyoruz. fakat bilinen resmi bir ispata en yakın olanı , görünüşte kararsızlığın sabit noktalı formülasyonlarıdır (“kendinden referanslı” nın başka resmi formülasyonları yok gibi görünmektedir.) hepsini söylemenin başka bir yolu da, Turing bütünlüğünün ve kararsızlığın iki görüş olduğudur. aslında aynı fenomen.

— vzn