Bir dizinin diğerinin sıralı bir sürümü olup olmadığını kontrol etmek için deterministik doğrusal zaman algoritması

Aşağıdaki sorunu düşünün:

Giriş: uzunluğunda iki ve dizisi , burada sıralanmış düzendedir.B n $A$$B$$n$$B$

Sorgu: do ve (kendi çokluğu ile) aynı öğeleri içerir?$A$$B$

Bu sorun için en hızlı deterministik algoritma nedir ?
Bunları sıralamaktan daha hızlı çözülebilir mi? Bu problem deterministik lineer zamanda çözülebilir mi?

Hesaplama modelinizi belirtmediniz, bu yüzden karşılaştırma modelini kabul edeceğim.

dizisinin { 1 , 2 } × { 3 , 4 } × ⋯ × { 2 n - 1 , 2 n } listesinden alındığı özel durumu düşünün . Bir deyişle, i inci elemanı ya da bir 2 i - 1 ya da 2 i .$B$

$$\{1,2\} \times \{3,4\} \times \cdots \times \{2n-1,2n\}.$$ $i$$2i-1$$2i$

I İstem algoritma sonucuna eğer ve B algoritma her öğe karşılaştırıldığında ki, aynı elemanları içeren B muadili için A . Gerçekten, algoritmanın A ve B'nin aynı elemanları içerdiğini ancak B'nin ilk elemanını asla A'daki muadili ile karşılaştırmadığını varsayalım . İlk öğeyi değiştirirsek, cevap farklı olsa bile algoritma tamamen aynı şekilde devam eder. Bu, algoritmanın ilk elemanı (ve herhangi bir elemanı) A'daki muadili ile karşılaştırması gerektiğini gösterir .$A$$B$$B$$A$$A$$B$$B$$A$$A$

Bu, ve B aynı öğeleri içeriyorsa, bunu doğruladıktan sonra algoritma A'nın sıralanmış sırasını bilir . Bu yüzden en azından n olmalı ! farklı yapraklar, ve bu yüzden zaman alır Ω ( n log n ) .$A$$B$$A$$n!$$\Omega(n\log n)$

Bu cevap farklı bir hesaplama modelini ele almaktadır: birim maliyetli RAM modeli. Bu modelde, makine kelimeleri boyutuna sahiptir ve üzerlerindeki işlemler O ( 1 ) zaman alır. Ayrıca, her dizi öğesinin bir makine kelimesine sığdığını (ve dolayısıyla en fazla n O ( 1 ) büyüklükte olduğunu) basitliği varsayıyoruz .$O(\log n)$$O(1)$$n^{O(1)}$

Biz doğrusal bir zaman inşa edecek randomize tek taraflı hata ile algoritma olup olmadığını İki dizinin belirlenmesi daha zor sorun için (algoritma bu durumda olmasa bile aynı unsurları içerdiği iki diziler ilan etme) ve b 1 , … , b n aynı elementleri içerir. (Hiçbirinin sıralanmasını gerektirmiyoruz.) Algoritmamız en fazla 1 / n olasılıkla hata verecektir .$a_1,\ldots,a_n$$b_1,\ldots,b_n$$1/n$

Buradaki fikir, dizilerin aynı öğeleri içermesi durumunda şu kimliğe sahip olmasıdır: Bu polinomları tam olarak hesaplamak çok fazla zaman alacaktır. Bunun yerine, rastgele bir asal p ve rastgele bir x 0 seçer ve n ∏ i = 1 ( x 0 - a i ) ≡ n

$$\prod_{i=1}^n (x-a_i) = \prod_{i=1}^n (x-b_i).$$ $p$$x_0$ Diziler eşitse, test her zaman geçecektir, bu yüzden dizilerin farklı olduğu durumlara konsantre olalım. Özellikle, bazı ∏ n i = 1 ( x - a i ) - ∏ n i = 1 ( x - b i ) katsayısısıfır değildir. Bu yana bir i , b ı büyüklük n O ( 1 ) , bu katsayı büyüklüğe sahip 2 , n , n O $$\prod_{i=1}^n (x_0-a_i) \equiv \prod_{i=1}^n (x_0-b_i) \pmod{p}.$$ $\prod_{i=1}^n (x-a_i) - \prod_{i=1}^n (x-b_i)$$a_i,b_i$$n^{O(1)}$ en az vardır, ve bu yüzden, O(n)boyutu ana faktörlerQ(n). Biz en azından bir dizi seçerseniz o Bu araçlar n 2 asalpboyutunun en az n 2 (söz hakkından), sonra rastgele bir asal içinpbu setin o olasılık en azından bir araya gelecek1-1 / no n Π i = 1 (x- a i$2^n n^{O(n)} = n^{O(n)}$$O(n)$$\Omega(n)$$n^2$$p$$n^2$$p$$1-1/n$ Rastgele bir x 0 modulo p buna 1 - n / p ≥ 1 - 1 / n olasılığı ile tanık olacaktır(çünkü en fazla n derecesinde bir polinomen fazla n köke sahip olduğundan). $$\prod_{i=1}^n (x-a_i) - \prod_{i=1}^n (x-b_i) \not\equiv 0 \pmod{p}.$$ $x_0$$p$$1-n/p \geq 1-1/n$$n$$n$

Sonuç olarak, en az n 2 farklı primer seti ve rastgele x 0 modulo p arasında kabaca n 2 boyutunda rastgele bir seçersek , diziler aynı öğeleri içermediğinde testimiz başarısız olur olasılık 1 - O ( 1 / n ) . Testi çalışma süresi alır O ( n ) bu yana s makinesi sürekli bir söz sayıda içine sığar.$p$$n^2$$n^2$$x_0$$p$$1-O(1/n)$$O(n)$$p$

Polinom zaman asallık test kullanılarak ve boyut asal yoğunluğu itibaren aşağı yukarı olduğu Q ( 1 / log n ) , bir rastgele birincil seçebilir p zamanında ( log n ) O ( 1 ) . Rastgele bir x 0 modulo p seçimi çeşitli şekillerde uygulanabilir ve bizim durumumuzda tamamen tekdüze bir rastgele x 0'a ihtiyacımız olmadığından daha kolay hale getirilir .$n^2$$\Omega(1/\log n)$$p$$(\log n)^{O(1)}$$x_0$$p$$x_0$

Sonuç olarak, zaman içinde bizim algoritma çalışır her zaman çıkışlar EVET, diziler HAYIR olasılık ile aynı elementleri ve çıkışları içeriyorsa 1 - O ( 1 / n ) diziler aynı unsurları ihtiva etmemesi. Herhangi bir sabit C için hata olasılığını 1 - O ( 1 / n C ) artırabiliriz .$O(n)$$1-O(1/n)$$1-O(1/n^C)$$C$

başka bir algoritma önereceğim (veya en azından böyle bir algoritmanın şeması)

Şema, değerlerin (" tamsayılar " olduğu varsayılır ) arasında (dar?) Bir aralıkta olduğunu varsayar.$[min,max]$

1. $O(n)$minmax

2. Çıkar minhem dizilerden tüm değerlerden (burada bir dizi sıralı düzende zaten olması dikkate alınmaz, muhtemelen bu geliştirilebilir)

3. $1$$c > 1$

4. max-min$O((max-min)n)$

Yukarıdaki algoritma şemasının birçok pratik durumda (deterministik) oldukça hızlı olabileceğini unutmayın .

Yukarıdaki algoritma şeması, " hareketli kütleler " kullanan bir doğrusal-zaman sıralama algoritmasında bir varyasyondur . " Hareketli kütleler " sıralama algoritmasının arkasındaki fiziksel sezgi şudur:

Her bir öğenin değerinin gerçekte kütle büyüklüğünü temsil ettiğini varsayın ve tüm öğeleri bir satırda düzenlediğinizi ve aynı hızlanma kuvvetini uyguladığınızı hayal edin.

Daha sonra her bir madde kütlesiyle ilgili bir mesafeye, daha büyük daha az mesafe ve tersi yönde hareket edecektir. Sonra sıralanan öğeleri almak için sadece seyahat mesafesine göre ters sırayla öğeleri toplamak.

$max-min$

Bu bağlamda, yukarıdaki algoritma sayısal tabanlı sıralama algoritmalarına benzer (örn. Radix-sort , counting-sort )

Bu algoritmanın fazla bir şey ifade etmeyebileceği düşünülebilir, ancak en az bir şey gösterir. " Temel " olarak, fiziksel düzeyde, rasgele sayıların sıralanması, öğe sayısında doğrusal-zaman işlemidir.