Neden sayısal algoritmalarda sayıların tekli gösterimini almıyorsunuz?

Yalancı polinom zaman algoritması, giriş değerinde (büyüklük) polinom çalışma süresine, ancak girdi boyutunda (bit sayısı) üstel çalışma süresine sahip bir algoritmadır.

Örneğin , sayısının asal olup olmadığını test etmek , 2 ile n - 1 arasındaki sayılar arasında bir döngü gerektirir ve n mod i'nin sıfır olup olmadığını kontrol edin . Mod O (1) zaman alırsa, toplam zaman karmaşıklığı O (n) olacaktır.$n$$n-1$$n$ $i$

Ancak girişi yazmak için gerekli bit sayısı olmasına izin verirsek , x = log n (ikili) böylece n = 2 x ve problemin çalışma süresi üstel olan O ( 2 x ) olacaktır .$x$$x = \log n$$n = 2^x$$2^x$

Sorum şu: girişinin tekli temsilini düşünürsek, her zaman x = n ve sonra sözde polinom zamanı polinom zaman karmaşıklığına eşit olacaktır. Peki neden bunu asla yapmıyoruz?$n$$x=n$

Ayrıca sırt çantası için sözde polinom zaman algoritması bulunduğundan, alınarak sırt çantası sonuç olarak P = NP olarak polinom olacaktır.$x=n$

Bunun anlamı, tekli sırt çantasının P'de olmasıdır. Bu, sırt çantasının (ikili kodlanmış sayılarla) P'de olduğu anlamına gelmez .

Sırt çantasının NP-tam olduğu bilinmektedir. Sırt çantasının P'de olduğunu gösterirseniz, bu P = NP'yi gösterir.

Ancak sırt çantasının P'de olduğunu göstermediniz. Tekli sırt çantasının P'de olduğunu gösterdiniz. Ancak, tekli sırt çantasının NP-tam olduğu bilinmemektedir (aslında, standart şüphe büyük olasılıkla NP-tam değildir ). Bu nedenle, P'ye tekli sırt çantası koymak, P = NP olduğu anlamına gelmez.

Peki, sırt çantası veya tekli sırt çantası hakkında hangi sorunu daha fazla önemsemeliyiz? Motivasyonunuz pratik kaygılara dayanıyorsa, cevap sırt çantası sorununu çözmek istediğiniz sayıların boyutuna bağlı olacaktır: eğer büyükse, sırt çantasıyla tekli sırt çantasından daha çok ilgilenirsiniz. Motivasyonunuz teorik kaygılara dayanıyorsa, sırt çantası tartışmasız daha ilginçtir, çünkü daha derin bir anlayış elde etmemize izin verir - boyut ile büyüklük arasındaki ayrımı yapmamıza izin verir - oysa sırt çantası bu ayrımı yapmamızı engeller.

Sırt çantası sorununun dinamik programlama algoritması hakkındaki takip sorusunu cevaplamak için:

Evet, aynı dinamik programlama algoritması olabilir hem arka çantalar ve tekli çantaya uygulanabilir. Çalışma süresi sayıların büyüklüğünde polinomdur, ancak ikili olarak kodlandığında sayıların uzunluğunda üsteldir (polinom değil). Bu nedenle, çalışma süresi , giriş tekli olarak kodlandığında giriş uzunluğunda polinomdur, ancak giriş ikili olarak kodlandığında giriş uzunluğunda polinom değildir . Biz neden en Yani do tekli sırt çantası için bir polinom zamanlı algoritması olmak için bu dinamik programlama algoritması düşünün, ama yok o (ikili kodlanmış) knapsack için polinom zamanlı algoritması olarak kabul etmekteyiz.

Bir algoritmanın, çalışma süresi en fazla bit uzunluğundaki giriş uzunluğunun bir polinomuysa, polinom zamanında çalıştığını söylediğimizi hatırlayın .

DW'nin cevabına küçük bir şey eklerdim:

Tekli Knapsack'in P'de olduğu için bunu gören insanları gördüm, bu yüzden en iyi güncel algoritmaların üstel zamana sahip olduğu Knapsack'in yerine kullanabiliriz.

$W=\{w_1, \ldots, w_n\}$$k$$O(nk)$

$O(nk)$

Tek başına bir sorunu önemsiyorsanız bunu yapabilirsiniz. Aslında algoritmalardaki insanlar genellikle bunu yaparlar. Grafik algoritmalarının karmaşıklığı, genellikle kodlayan dizenin boyutu değil, sayı köşeleri ve kenar sayısı açısından ifade edilir.

Ama bu sadece izole bir sorunla uğraşırken. Farklı girdilerle ilgili problemlerle uğraşırken yararlı değildir. Grafikler için, köşe ve kenar sayısına göre çalışma süresinden bahsedebiliriz. Knapsack için, öğelerin sayısı ve Knapsack'in boyutu hakkında konuşabiliriz. Ama ya ikisinden de bahsetmek istersek? Örneğin, problemler arasındaki azalmaları azaltmak ya da sadece girdi olarak bir grafiğe sahip olanları değil, rasgele problemleri içeren problem sınıfını tartışmak istediğimizde. Evrensel bir girdi parametresine ihtiyacımız var. Genel olarak bir girdi sadece bir dizedir, sembollerini tekli sayılar, ikili sayılar, grafikler vb. Olarak yorumlayan biziz. Algoritmanın ve problemlerin genel bir karmaşıklık teorisini geliştirmek için genel bir girdi parametresine ihtiyacımız var. Girdinin boyutu açık bir seçimdir ve bunun üzerine makul bir teori oluşturabileceğimiz kadar sağlam olduğu ortaya çıkmaktadır. Tek olasılık bu değil. Yapay bir teori için,$2$

$k$$100$$100$$k$$2^{100}-1$$k$$k$$2^{100}-1$

$n$$n$$p(n)$$k$$p(n)$$k$$2^{p(n)}-1$$k$$k$

$n$$k$

Kısacası ve basit, size nedenini göstereceğim.

$Tally$

x = input integer

factors = [];

for i in range(1, x + 1):
    if x % i == 0:
     factors.append(i)

 print(factors)

$x$$x$$O(2^n)$

$Tally/Unary$$O(n)$$x$

x = input tallies

factors = [];

for i in range(1, x + 1):
    if x % i == 0:
     factors.append(i)

 print(factors)

Giriş gösterimi, kodun daha hızlı çalışmasını sağlamaz. Her ne kadar 2. algoritma gerçekten çok zamanlı olsa da. RSA için faktörleri bulmakta çok pratik değil.