P ≠ NP'yi kanıtlamak P = NP'yi kanıtlamaktan daha mı zor olur?

P ve NP problemi için iki olasılığı göz önünde bulundurun: P = NP ve P NP.$\neq$

Q'nun NP zor problemlerinden biri olmasına izin verin. P = NP'yi kanıtlamak için, Q için tek bir polinom zaman algoritması A tasarlamamız ve A'nın Q'yu doğru bir şekilde çözdüğünü kanıtlamamız gerekir.

P kanıtlamak için, hiçbir polinom zaman algoritmasının Q'yu göstermemiz gerekir . Başka bir deyişle, tüm polinom zaman algoritmalarını dışlamak zorundayız .$\neq$

İnsanların bunun ikinci zor işi yaptığını söylediğini duydum (gerçekten doğru olduğunu varsayarak).

P = NP'yi (P = NP olduğunu varsayarak) kanıtlamanın P NP'yi (P NP olduğunu varsayarak) kanıtlamaktan daha kolay olacağını düşünmek için bir neden var mı ?$\neq$$\neq$

Raphael'in açıkladığı gibi, bu soru kötü bir sorudur, çünkü P = NP ve P ≠ NP'nin en fazla biri kanıtlanabilir olmalıdır. Bununla birlikte, benzer bir soru teorik bilgisayar biliminde, en göze çarpanı yaklaşık algoritmalar alanında olan çeşitli şekillerde ortaya çıkmaktadır .

NP-sert optimizasyon problemi göz önüne alındığında (örneğin, maksimizasyon), yaklaşık olarak ne kadar iyi olabileceğimizi sorabiliriz. Olası yaklaşıklığın üst sınırının kanıtlanması P = NP'ye benzerken, olası yaklaşıklığın alt sınırının P ≠ NP'ye benzer olduğunu kanıtlar. Birincisi ikincisinden çok daha kolaydır. Gerçekten de, bir üst sınırı kanıtlamak için tek yapılması gereken bir yaklaşım algoritması bulmak ve onu analiz etmektir. Buna karşılık, bilinen tüm alt sınırlardır koşullu: bunlar sadece P ≠ NP ise geçerlidir (gerçekten de P = NP ise her NP-hard optimizasyon problemi çözülebilir hale gelir). Bu daha düşük sınırları kanıtlamak için, problemi çok iyi tahmin edebilseydik, bazı NP zor problemler için polinom zaman algoritması elde edeceğimizi gösteriyoruz. Genellikle bu, PCP teoreminin karmaşık teknik makineleri ile yapılır. Yaklaşık sertlik olarak bilinen bu alana sadece uzman olarak yaklaşılabilir ve teknik çoğu yaklaşım algoritmasından daha zorlayıcıdır. Dolayısıyla bu durumda en azından P = NP gerçekten P ≠ NP'den daha kolaydır.

P = NP olduğuna dair basit bir kanıt olasılığını göz ardı edemedik. Yarın biri P zamanında NP-tam problemi çözen bir algoritma bulursa, dünya değişir.

Öte yandan, biz var P! = NP olduğunu basit bir ispat söz konusu olmadığını belirtti. İki farklı karmaşıklık sınıfının resmi olarak yetersiz olduğunu gösteren tipik kanıtlama tekniklerimiz. Bu tür üç teknik "aritmetizasyon", "doğal kanıt" ve "relativize" adı verilen kanıt kategorisi olarak bilinir. Bu kategorilerden herhangi birine giren herhangi bir kanıt tekniğinin P! = NP olduğunu kanıtlayamayacağı kanıtlanabilir.

Aslında, P! = NP'yi kanıtlamanın, sadece iyi bilinen kanıt tekniklerinin yeni bir uygulaması değil, yeni kanıt türlerini (farklı özelliklere sahip yeni teknikler) gerektirdiğine dair güçlü kanıtlar vardır.

Şimdi, P = NP olduğu ortaya çıkabilir, ancak P'de NP-tam bir problemi çözen algoritmayı doğrulamak kolay değildir ve P = NP'yi kanıtlamak için yeni kanıtlama teknikleri gereklidir. (P = NP ise, teknik olarak P'de NP-zor problemleri eğlenceli bir şekilde çözen algoritmaları biliyoruz. Sabit faktörleri büyük olduğu için çalıştırılması pratik değildir.)

Temel olarak, P! = NP'yi kanıtlamak için kullanamayacağımız şey hakkında çok şey biliyoruz, oysa P = NP'yi kanıtlamak için kullanamayacağımız şey hakkında çok az şey biliyoruz.

Temelde bir fikriniz var. Genel olarak P! = NP olduğunu düşünüyoruz, ancak bunların eşit olmadığını nasıl kanıtlayacağımızı bile bilmiyoruz.

Tersine, P = NP olsaydı, şimdiye kadar düzinelerce NP-tam probleminden birini çözmek için bir algoritma bulacağımızı düşünürdünüz.

Bunlar çok dalgalı argümanlar ama birkaç cümlede bilgisayar bilimcileri arasındaki kültürü anlatıyorlar.

P! = NP'yi kanıtlamanın "daha zor" olup olmadığı elbette hangisinin doğru olduğuna (meta-matematiksel sonuçların engellenmesi?) Bağlıdır ve elbette bilmiyoruz.

P NP'yi kanıtlamanın, P ve NP sorununun çözülmesi gerektiğini düşündükleri zaman açısından P = NP'yi kanıtlamaktan daha zor olduğuna inanan bazı uzmanlar vardır . Ancak bu çoğunlukla problemler için algoritma tasarlamanın (etkin) algoritma olmadığını kanıtlamaktan daha kolay olduğu hissine dayanan bir sezgidir. Genellikle sorunların alt sınırlarını kanıtlamada çok başarılı olamadık. SAT için doğrusal bir zaman algoritmasını bile dışlayamayız. SAT için bir günlük alanı algoritması olmadığını göz ardı edemeyiz. Depth , ∨ , ¬ ve sabit derinlikte polinom boyutlu Boole devresi olmadığını bile gösteremeyiz.$\neq$$\land$$\lor$$\lnot$SAT'ı çözemeyen 6 kapı (layman'ın terimleriyle SAT'ı çözen ve her bir işlemin bu kapılardan sadece birini hesaplayan polinom sayısı işlemcilere sahip sabit bir zaman paralel algoritması olması mümkündür). SAT'ı çözen Turing makineleri için sahip olduğumuz en iyi alt sınırlar, çalışma süresi kullandığı alanla çarpılan bir algoritmanın olmadığını bile gösteremez n 1.9 . Daha düşük sınırlar ispatlamanın oldukça utanç verici durumu hakkında biraz daha devam edebilirim (ancak daha düşük sınırların kanıtlanmasının neden bu kadar zor olduğunu açıklayan bariyer sonuçlarımız olduğunu da unutmayın). Bazı uzmanlar Ketan Mulmuley'nin GCT programının P'ye karşı NP'yi çözme olasılığının en yüksek olduğunu düşünüyor ve Mulmuley tekrar tekrar oraya ulaşmanın yüz yıldan fazla zaman alacağına inandığını söyledi.$\mod_6$$n^{1.9}$

Bununla birlikte, Ryan Williams ve diğerleri tarafından, daha düşük sınırların kanıtlanması ile algoritmaların bulunması arasında içsel bağlantılar olduğunu gösteren bazı çalışmalar yapılmıştır. Örneğin, belirli bir kısıtlanmış SAT problemi için kaba kuvvet algoritmasından biraz daha iyi bir algoritmanın devre alt sınırlarını ima ettiğini gösterdi ve daha sonra böyle bir algoritma tasarladı. Bu yüzden insanların biraz daha kötümser olduklarını ve algoritma geliştirmediklerini ve daha önce düşündükleri kadar düşük sınırları kanıtlamadıklarını düşünüyorum.

$\pi$$\varphi$$\pi$$\varphi$ve algoritma evet veya hayır döndürür. Herhangi bir kanıt denetleyicisini bu şekilde düşünebilirsiniz. Ayrıca kanıtları ZFC gibi bir matematiksel sistemde de düşünebilirsiniz. Kontrol sürecinin kendisi, sözdizimsel bir görev olduğu için prova boyutunda polinom zamanda yapılabilir.

$\varphi$$\varphi$$\varphi$$2^{65536}$kanıt ve kuraldaki geçerli satırdan önceki satırları belirleyebilirsiniz. Bunun önemli bir istisnası kesme kuralıdır. Bu önemlidir, çünkü ifadeleri kanıtlamak için kesme kuralına ihtiyacımız olmamasına rağmen, en kısa kanıtın boyutunu önemli ölçüde azaltabilir. Ancak kesim kuralı belirleyici değildir: tahmin etmemiz gereken kesilmiş bir formül vardır. Kesme kuralını limonları kanıtlamak ve kullanmak olarak düşünebilirsiniz. Kesim formülü bir lemma gibidir. Ama bize yardımcı olacak hangi lemmayı kanıtlamalıyız? Zor kısmı bu. Genellikle iyi bir lemma bularak matematikte bir sonuç kanıtlanır. Ayrıca daha önce kanıtlanmış sonuçları kullandığınızda aslında kesme kuralını kullanırsınız. İfadeleri kanıtlamanın bir diğer önemli bileşeni tanımlar. Genellikle yeni bir kavram tanımlarız, daha sonra bununla ilgili ifadeleri kanıtlarız, ve son olarak bizim özel durumumuzda uygulayın. Tanımları kullanmak formüllerin boyutunu küçültür (tanımların ne kadar önemli olduğuna dair bir fikir edinmek için tanımları genişleterek bazı matematiksel formülleri saf küme teorik diline genişletmeyi deneyin). Yine hangi yeni tanımları kullanmalıyız? Bilmiyoruz. Bu beni kanıtlamanın zor olduğu bir ifadenin üçüncü anlamına getiriyor. Bir ifadenin kanıtlanması zor olabilir, çünkü güçlü aksiyomlara ihtiyacınız vardır. Örn. Bir ifadenin kanıtlanması zor olabilir, çünkü güçlü aksiyomlara ihtiyacınız vardır. Örn. Bir ifadenin kanıtlanması zor olabilir, çünkü güçlü aksiyomlara ihtiyacınız vardır. Örn.CH . ZFC'de kanıtlanamaz ve ZFC'de çürütülemez. Bu aşırı bir durum ama düşündüğünüzden daha sık oluyor. Örneğin ihtiyacımız yapmak büyük kardinal aksiyomlarını (iş edebilmek için Grothendieck evrenler ) kanıtlamak için FLT veya bunun gibi daha zayıf teoride kanıtlayabilirim PA ? Bu, ifadeleri kanıtlamanın zorluğu ile ilgili başka bir kavramdır.

Şimdi P'ye NP'ye geri dönelim. Sorunun oldukça zayıf aritmetik teorilerde şu ya da bu şekilde çözülemeyeceğini belirten sonuçlarımız yok. Alexander Razborov, 1995 yılında "Bazı Sınırlı Aritmetik Parçalarında Devre Boyutunda Alt Sınırların Karsızlığı" başlıklı bir makale yazdı ve bunu zayıf bir teoride kanıtlamanın mümkün olmadığını gösterdi, ancak teori gerçekten gerçekten zayıf. Bildiğim kadarıyla, Sam Buss'un sınırlı aritmetik teorileri gibi önemli ölçüde daha güçlü teorilere genişletilmesi konusunda çok fazla ilerleme kaydedilmemiştir ve sonuç onlara genişlemiş olsa bile, hala PA veya ZFC gibi bir şeyden uzaktır. Kısacası, SAT'ın çok küçük karmaşıklık sınıflarında olmadığını kanıtlayamıyoruz, aynı zamanda P kanıtlayamayacağımızı bile kanıtlayamıyoruz.$\neq$$\neq$$\neq$$\neq$

Sorunun şu şekilde azaltılabileceğini düşünüyorum: bir şeyin var olduğunu kanıtlamak veya bir şeyin var olmadığını kanıtlamak daha kolay mı?

Bir şeyin var olduğunu kanıtlama iddiası, gereksinimleri karşılayabilecek şeyler inşa etmenin kolay olması ve aynı zamanda gerçekten onları karşılayıp karşılamadıklarını kontrol etmenin kolay olmasıdır.

Bazı durumlarda bu doğrudur: bir polinomun kökünü bulmak istiyorsanız, sayıları oluşturmak kolaydır ve bunların kök olup olmadığını kontrol etmek kolaydır.

Sorun, elbette, şanslı olmanız gerektiğidir. Arama alanını azaltabilirsiniz, örneğin 5'in katları veya 1 ile 10 arasında olması gerektiğini kanıtlayarak; ancak, sonlu bir sayılar kümesiyle sınırlandırmazsanız (bu durumda gerçekten "tahmin et ve doğrula" yöntemini kullanmıyorsanız), sorunu çözmek için bir yönteminiz yoktur: yalnızca, çok şanslıysanız, bir çözüm üretebilirsiniz.

Ancak bunu istiyorsanız, bir şeyin olmadığını kanıtlamak da aynı derecede kolaydır! Olası çözümler olabilecek metinler oluşturun ve gerçekte olup olmadıklarını kontrol edin.

Bu nedenle, çözümü saf şans ile verebilecek bir yönteme sahip olmak, bir şeyin var olduğunu kanıtlamanın daha kolay olduğu anlamına gelmez.

Şimdi, başka bir yöntemle bir şeyin var olduğunu kanıtlamak genellikle daha kolay mıdır? Bu asıl soruna bağlıdır, çünkü aksi takdirde bir şeyin olmadığını kanıtlamak, var olmadığına dair bir kanıtın varlığını kanıtlamaya indirgenecektir. Korkarım ki, hem var olduğu hem de var olmadığı kanıtlanmış bir şey olmadığı için bunu ölçemeyiz, böylece ispatın zorluğunu ölçebiliriz (deneriz).

P = NP olduğunu kanıtlarsanız, bunun tersini kanıtlamak sadece daha zor değil, aynı zamanda imkansızdır.

P <> NP'yi kanıtlamanın imkansız olduğuna inanıyorum, çünkü P = NP'yi ispatlayabilecek tüm algoritmaları dışlamak zorunda kalacaksınız. Bunlardan sonsuz sayıda mümkün olabilir. Sonsuzluğu çürütmenin bir yolu yoktur, bu nedenle mümkün değildir. Öte yandan, tek yapmanız gereken, eğer P = NP olduğunu kanıtlamak için tek bir algoritmadır. Bu nedenle, ya birisinin kanıtlayacağı P = NP ya da asla bilemeyiz.