Sayılamayan Turing karar verilebilir dili var mı?

Turing-decidable olan birçok (ve çok demek istediğim) sayılabilen dil var. Sayılamayan herhangi bir dil Turing'e karar verebilir mi?

Sonlu (hatta sayılabilir) bir alfabe üzerindeki her dil sayılabilir. Turing makine alfabenizin sonlu olduğu varsayılarak, kabul edebileceği her dil sayılabilir.

Sayılamayan dillere ancak sonsuz uzunluktaki kelimelere izin verirsek başvurabiliriz, örneğin bkz. Omega normal dili . Bu diller denir -languages. Başka bir örnek, tüm gerçek sayıların ondalık açılımlarını içeren, gerçeklerin alt kümesinin dili olacaktır.$\omega$

Turing Makinelerinin dillerini kabul edecek şekilde değiştirildiği bazı modeller vardır . Bu modellerden bazıları kabul için Buchi koşulunu kullanır. Bütün girdiyi sonlu zamanda göremediğiniz için Turing Machine kabul durumuna sonsuz sayıda girerse girişin kabul edildiğini söylüyoruz. Bunu girdiyi analiz ederek (çalıştırarak değil) ispatlayabilirsek, girdinin kabul edildiğini söyleriz.$\omega$

Klasik hesaplanabilirlik, sonlu bir alfabedeki sonlu dizgiler üzerindeki fonksiyonları tartışır. Sonuç olarak, karar verilebilir veya kararsız tüm diller sayılabilir.

Dikkate almak sayılamayan dilleri biz bakmak zorunda sonsuz dizeleri sonlu dizeleri yerine. (AFAIK, sonsuz bir alfabeye sahip olmak çok ilginç değildir ve kendi başına gerçekçi bir hesaplama modeline karşılık gelmez.)

Gerçek sayılar gibi sayılamayan alanlardan nesneleri temsil etmemize izin veren sonsuz dizelerle başa çıkabileceğimiz hesaplama modelleri vardır. Bunlar genellikle daha yüksek tip hesaplamalar olarak temsil edilir. Turing makinelerini kullanan bir model TTE modelidir. Bu modelde girdi sonsuz dizgiler olabilir ve makineler istediği dizgideki herhangi bir öğeye erişebilir. Makinenin sonlandırılmasına gerek yoktur, ancak makinenin çıktısının yakınlaştığından emin olmak için koşullar vardır.

Makinemizin girdisinin , yani alfabeden st sonsuz dizeler , örneğin Σ = { 0 , 1 } olduğunu varsayalım . Sonra Σ N = 2 N dizesi var. Bu nedenle 2 2 N olası dil vardır. TTE Turing makinelerinin sayısı hala sayılabilir. Yani bu dillerin çoğu kararsızdır.$\Sigma^\omega$$\Sigma$$\Sigma = \{0,1\}$$\Sigma^\mathbb{N} = 2^\mathbb{N}$$2^{2^\mathbb{N}}$

Ancak burada daha da ilginç bir şey var: Makinenin her zaman durmasını istiyorsanız, girişin yalnızca sınırlı bir başlangıç ​​kısmını okuyabilecektir. Sonuç olarak aşağıdakilere sahibiz: , her zaman duran (sınırlı bir zamanda) bir TTE makinesi olsun . Daha sonra, bir ön ek içermeyen dili vardır L ∈ Σ * ve Turing makinesi K , öyle ki herhangi x ∈ Σ co , E kabul x IFF K ilk kısmını kabul x olan L .$M$$L \in \Sigma^*$$N$$x\in \Sigma^\omega$$M$$x$$N$$x$$L$

Basit bir ifadeyle, her zaman durdurulan TTE Turing makinelerinin hesaplanması, bir Turing makinesinin sonlu teller üzerinde hesaplanmasıyla belirlenir.

Sonsuz dizelerin karar verilebilir ve kararsız dillerine bir örnek vereyim:

1. Herhangi bir için, k konumu 0 olan sonsuz dizgilerin dili belirlenebilir niteliktedir . İle aynı k herhangi iki Karar verilebilen dillerden 1. Kavşak olmak inci pozisyonunda örneğin dizeleri kimin, Karar verilebilen olan 3 inci pozisyon 0 ve olan 6 inci pozisyon 1'dir.$k\in \mathbb{N}$$k$$k$$3$$6$

2. Herhangi iki karar verilebilir dilin birleşmesi karar verilebilir. Örneğin, veya 10 ile başlayan dizeler .$0$$10$

3. Let Karar verilebilen dillerin computably enumerable listesi olacak. Daha sonra L = ∪ ı L ı vardır makinesi olup durur ve de her bir dize kabul yani yarı Karar verilebilen bir L ve şeritler olmadığı zaman kabul etmez L . O değilse L makine durdurmak olmayabilir. Yarı karar verilebilir herhangi bir dil, yukarıdaki 1. maddede verilen formun numaralandırılabilir bir dil listesinin birleştirilmesi ile elde edilebilir.$L_i$$L = \cup_i L_i$$L$$L$$L$

4. Bir dil, hem dil hem de tamamlayıcısı yarı karar verilebilirse karar verilebilir.

5. 0'ların sonsuz dizelerini içeren dil karar verilemez. Bu garip görünebilir, ancak şu şekilde bakın: dizeyi okurken ne zaman durdurulabilir ve girişin 0'lardan oluştuğunu söyleyebilir? 0s okuduktan sonra durursanız , makineniz k 0s ile başlayan ve 1s tarafından takip edilen dili de kabul eder . Bu modeldeki dizeye erişebileceğimiz tek erişimin biraz istemek ve almak olduğunu unutmayın.$k$$k$

$x \mapsto \lg x$$x$$\lg x$ bize.

$f$$\{0,1\}$$f^{-1}(1)$Web sitesinde Analiz Ağında Hesaplanabilirlik ve Karmaşıklık için başka referanslar da var .