Karar verilebilirliğin yapıcı versiyonu?

Bugün öğle yemeğinde, bu sorunu meslektaşlarımla birlikte gündeme getirdim ve sürpriz olarak Jeff E.'nin sorunun karar verilebilir olduğu iddiası onları ikna etmedi ( burada mathoverflow ile ilgili bir yazı). Açıklanması daha kolay olan bir problem bildirimi de ("P = NP?") Karar verilebilir: ya evet ya da hayır, ve bu cevapları her zaman veren iki TM'den biri soruna karar verir. Biçimsel olarak, set karar verebilir : ya çıktıları makinesi giriş için yalnızca ve aksi takdirde bunu karar ya da giriş yapar makine .$S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$$2$

Bunlardan biri bunu temelde bu itiraza kaynattı: eğer karar verilebilirlik kriteri bu kadar zayıfsa - bu, sonlu olarak gösterebileceğimiz bir dil olarak resmileştirebileceğimiz her sorunun karar verilebilir olduğunu gösterir - o zaman bir kriteri resmileştirmeliyiz bu şekilde karar verilebilen resmileştirilebilir sonlu birçok olası cevapla ilgili herhangi bir sorun yaratmaz. Aşağıdakiler muhtemelen daha güçlü bir kriter olsa da, belki de bu karar verilebilirliğin bir TM gösterebilmesine bağlı olarak, temelde konunun sezgisel bir görüşünü önerdiğine (ne de eğilimli olmadığım - meslektaşlarımdan herhangi birini yapın, hepsi dışlanan orta yasayı kabul eder).

İnsanlar yapıcı bir karar verebilirlik teorisini resmileştirdi ve muhtemelen inceledi mi?

Bence sormaya çalıştığınız soru "hesaplanabilirlik teorisi yapıcı mı?" Ve bu ilginç bir soru, matematiğin temelleri posta listesindeki bu tartışmada görebileceğiniz gibi .

Şaşırtıcı olmayan bir şekilde düşünülmüştür, çünkü yapıcı duyarlılığa sahip insanlar tarafından bir çok özyineleme teorisi geliştirilmiştir ve bunun tersi de geçerlidir. Örneğin, Besson'un kitabına ve saygıdeğer Metamatemilere Giriş'e bakınız . Özyineleme teorisinin ilk birkaç bölümünün asgari değişikliklerle yapıcı bir ortama geçmeye devam ettiği açıktır: örneğin snm teoremi, Rice teoremi veya Kleene özyineleme teoremleri değişmeden kalır.

Yine de ilk bölümlerden sonra işler biraz daha zorlaşıyor. Özellikle, aritmetik hiyerarşinin daha yüksek seviyeleri genellikle bir gerçeklik kavramı ile tanımlanır. Özellikle, Düşük Temeli Teoremi gibi yaygın olarak kullanılan teoremler açıkça yapıcı değildir.

Belki de daha pragmatik bir yanıt, bu "paradoksal olarak hesaplanabilir diller" in basitçe ölçülemeyen gerçekler setleri gibi çok uzun bir süre çalışılabilen (ve var olan!) Bir özdeyiş olmasıdır, ancak ilk sürpriz bir kez üstesinden gelmek, daha ilginç şeylere geçebilir.

Klasik mantıkta, her ifade herhangi bir modelde doğru veya yanlıştır. Örneğin, doğal sayılarla ilgili herhangi bir birinci dereceden ifade "gerçek dünyada" (bu bağlamda gerçek aritmetik olarak bilinir) ya doğru ya da yanlıştır . Peki ya Gödel'in eksiklik teoremi? Sadece gerçek aritmetiğin tekrarlanan numaralandırılabilir aksiyomatizasyonunun tamamlanmadığını belirtir.

ilişkin $\mathsf{P}$ vs. $\mathsf{NP}$, çoğu araştırmacı $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$, bazıları $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ve bir avuç ZFC'den bağımsız olduğu inancını eğlendirir. Aslında ZFC'den bağımsız olmadığını itiraf etmek istediğinizi varsayalım (aynı şekilde ZFC'nin tutarlı olduğunu itiraf etmeye istekli olduğunuz gibi). Bu durumda, dilinizi hesaplayan tamamen açık bir Turing makinesi vardır. Makine,$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ veya $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$biri bulunana kadar ve buna göre ilerler. Biz yapabilirsiniz kanıtlamak bu makine dilinizi kabul ettiğini biz hala o dili tam olarak ne olduğunu bilmiyorum bile,!

Bunu kabul etmek istemiyorsanız $\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$ZFC tarafından karar verilirse, dilinizi kabul eden açık bir Turing makinesi olup olmadığını hala sorabilirsiniz. Akıllara durgunluk veren bu soruyu ilgili okuyucuya bırakıyorum.

(sorumluluk reddi, cstheory'ye daha iyi uyan bulanık bir soruya bulanık bir cevap ). yapılandırılabilirlik teorik matematikte "büyük bir anlaşma" dır, ancak özellikle yarı ünlü Banach-Tarski paradoksu gibi sürekli bağlamlarda ortaya çıkar . bu paradokslar genellikle "şimdiye kadar" daha farklı "CS " de ortaya çıkmış gibi görünmemektedir . Öyleyse CS'de (analog / paralel) yapılandırılabilirlik nedir? cevap o kadar açık değil. matematik araştırmalarından daha çok CS'den kaynaklanan bir kavramdır ve iki kişi bu özel sınıra çok fazla “şimdiye kadar” bağlı görünmemektedir .

bir cevap, karar verilebilirlik teorisinin aslında yapılandırılabilirlik üzerinde bir varyasyon gibi görünmesidir, yani hangi setlerin hesaplanabileceğini ve hangisinin yakından bağlantılı olduğu kesin bir yöntemdir .

kalpteki inşa edilebilirlik, "ZFC'den bağımsızlık" ile ilgili bazı konuları ele almaktadır ve bu alanlar Aaronson wrt P vs NP, P vs NP resmi olarak bağımsız mıdır? .

"paradoksların" inşa edilebilirlik meselelerine işaret ettiği görülmemiştir, ancak bir kişi bunu Aaronsons gazetesinde olduğu gibi kaba bir benzetme için kaba bir rehber olarak alabilir; Gill Solovay 1975 sonuç Kehanetlerini var olduğunu hem de bu şekilde P ^A = NP ^A ve P, ^B ≠ NP ^B . thms gibi diğer paradoksallar Blum boşluğu ve hızlandırma teoremleridir.

ayrıca CS'nin temel zaman / mekan hiyerarşi teoremlerinde "zaman / mekan" inşa edilebilir fonksiyonlara odaklanması bir tesadüf mü? (daha sonra Blum benzeri paradoksları neredeyse "tasarımla" hariç tutar ?)

başka bir cevap, bunun, örneğin bu bulgudaki gibi, aktif soruşturma / araştırma altında olmasıdır. yapılandırılabilirliğin matematikte "büyük kardinaller" ile bağlandığı bilinmektedir : Sonsuz oyunlar için kazanma stratejileri: büyük kardinallerden bilgisayar bilimlerine / Ressayre.

Büyük “keskin” aksiomunun kullanılması Martin analitik kararlılığı kanıtladı: oyunculardan birinin kazanan setinin analitik olması şartıyla, iki oyuncu arasındaki her sonsuz bilgi mükemmel oyunundaki oyunculardan biri için kazanan bir stratejinin varlığı bir. Sonlu durum kararlılığının Rabin, Buechi-Landweber, Gurevich-Harrington teoreminin yeni bir kanıtını elde etmek için kanıtını değiştirir ve tamamlarım: oyuncunun kazanan takımları kendileri sınırlı olduğunda sonlu bir devlet makinesi tarafından hesaplanan bir kazanma stratejisinin varlığı devlet kabul etti.