Kutuları çiftler ile doldurma

Bir kutu en az topu içeriyorsa dolu olarak adlandırılır . Amacımız mümkün olduğunca çok sayıda çöp kovası yapmak. $k$

En basit senaryoda, bize topları verilir ve bunları keyfi olarak düzenleyebiliriz. Bu durumda, yapabileceğimiz en iyi şey keyfi olarak bidonları ve her birine topları koymaktır . $n$ $\lfloor n/k \rfloor$ $k$

Ben şu senaryo ile ilgileniyorum: çift topları verilir . Her çiftin iki topunu iki farklı kutuya koymalıyız. Sonra, bir rakip gelir ve her bir çiftten bir topu çıkarır. Söküldükten sonra mümkün olan en fazla sayıda dolu kutuya sahip olmak için ne yapabiliriz? $n$

Basit bir strateji şudur: çift kutularını seçin. Her kutu çiftini top -çiftiyle doldurun (her her çiftten bir top olmak üzere top bulunur). Daha sonra, düşmanımızın ne kaldırdığına bakılmaksızın, her bir bin çiftinde en az bir dolu kutu var. $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ $2k-1$ $2k-1$

Daha fazla sayıda tam kutuya ulaşan bir stratejimiz var mı ( )? $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$

combinatorics balls-and-bins

— Erel Segal-Halevi
kaynak

İnanmıyorum

— Zach Saucier

n

$n$ verilir ve verilir? bağlıdır ?

k

$k$

k

$k$

n

$n$

— Kötülük

@EvilJS ve verilir ve bağımsızdır.

n

$n$

k

$k$

— Erel Segal-Halevi

Oyuncu tüm çift topunu ve daha sonra rakip oyuncuları toplar mı yerleştiriyor? Veya oyuncu bir çift top yerleştiriyor mu ve sonra rakip o çiftten bir tane seçiyor ve sonra oyuncu bir sonraki çifti ve rakip seçimleri koyuyor yerleştirilecek top çiftleri kalmayıncaya kadar bir ve benzeri?

n

$n$

n

$n$

— rotia

@rotia Oyuncu tüm n çift topunu yerleştirir ve ardından rakip n topu alır.

— Erel Segal-Halevi

TL; DR - Hayır, basit stratejiden daha iyi bir strateji yoktur. İşte ispatın ana fikri. Yeterli top olmadığında, -tam bir depodan en fazla toplu bir depoya bir "top yolu" olacaktır . Düşman, bu dolu bölmeden topun bu yol boyunca daha az dolu bölmeye geçmesini sağlayabilir, bu da kutuların sayısı azalıncaya kadar tekrar tekrar yapılabilir . $k$ $k-2$ $k$

Grafik teorisinde reform

işlevine sahip basit bir sonlu grafik verildiğini varsayalım . D kenarında topları olduğunu söylüyoruz . Let (nihai işaretli kenar) kümesi . Eğer tatmin her kenar için düşük olduğu dikkate alındığında bir -distributing. Herhangi bir dağıtma işlevi , aynı sembolü kullandığımız bir işlevi indükler, , . Diyoruz ki $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ toplar bulunmaktadır . Verilen , izin sayısını -tam noktalar tarafından . $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

(Erel-Apass Teoremi) Herhangi bir basit sonlu grafik ve , de $G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

Her tepe noktasının bir çöp kutusu olduğunu düşünün. Her kenar için , top çiftleri ve içine , her biri top alır. Bunlar arasında, bilyalı çiftleri düşman uzak sürebilir topları ve gelen topları . başlangıçta tüm boş kutular göz önüne alındığında, her kenar için , toplar yerleştirilir ve sonra ve toplar ve $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $d(e,v_1)$ $v_2$ $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $v_2$ sırasıyla düşman tarafından. Bu nedenle, Erel-Apass teoremi, akıllı bir rakibin kaldırılmasından sonra k-dolu bidonları sağlamak için en az çift topa ihtiyaç duyulduğunu söylüyor . $t$ $(2k-1)t$ Başka bir deyişle, mümkün olan en fazla sayıda dolu kutunun kalması için en uygun strateji, tekrarlamak için yeterli topumuz kalmayana kadar farklı bir çift top- çiftiyle tekrar tekrar dolduran "basit strateji" dir . $2k-1$

Teoremin kanıtı

Çelişkinin uğruna, ve , tüm karşı örnekleri arasında köşeleri sayısı en küçük olan bir karşı örnek olsun. Kendisine, orada -distributing , öyle ki tüm arasında çok az arasında fonksiyonu -distributing . Ayrıca, $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\sum_{e \in E} w (e) < (2 k - 1) F_{k} (m)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

Let . Let . Yani . $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ $F_k(m)=\#V_\ell$

talep: . $V_s\neq\emptyset$ İstem 1'in kanıtı. Aksi takdirde boş olduğunu varsayalım . de yeniden edelim ile ilgili bir fonksiyonu olarak için , öyle ki herhangi .
$V_s$

\sum_{v \in V} m (v) = (k - 1) # V + \sum_{v \in V} (m (v) - (k - 1)) \geq (k - 1) # V + # V_{ℓ} > (k - 1) # V

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

\begin{aligned} \sum_{v \in V} w (v) & = \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} 2 w (e) = 2 \sum_{e \in E} w (e) \\ = 2 \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} m (v) \\ > 2 (k - 1) # V \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$ Dolayısıyla bir tepe noktası olmalıdır , öyle ki .

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

Kaynaklı Kur göz önünde ve , , ile indüklenen grafiktir ve . Herhangi biri için fonksiyonu -distributing , bir kadar uzatmak için fonksiyonu -distributing ile aynıdır ile ise bitişik her kenar için . Not bu itibaren $G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$ . Sonra So, ve sayıları köşe arasında nokta sayısı daha küçük olan bir karşı-bir . Bu, ve hakkındaki varsayımlarımızla doğru olamaz . Yani bir iddia kanıtlandı.

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) - w (b) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) - (2 k - 1) \\ = (2 k - 1) (min_{w -distributing d} F_{k} (d) - 1) \\ \leq (2 k - 1) (min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) - 1) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Herhangi bir tepe için tanımlama, tepe gelen -reachable bir yol olup olmadığını , şekilde . Let . $v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

İstem iki: $V_r = V$ İstem iki ispatı: Varsayalım . Herhangi bir tepe ve , beri ulaşamadığı arasından ise, , daha sonra bir kenar olan dikkate indüklenmiş kurulum ve , burada , indüklenmiş grafik ve burada . Herhangi bir dağıtım fonksiyonu ,
$V_r\neq V$ $v\in V_r$ $u\notin V_r$ $u$ $v$ $\{v, u\}$ $w(\{v, u\}, v) = 0.$ $G'(V', E')$ $w'$ $v'=V_r$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ burada , ile ve diğer kenarlardaki ile aynıdır . Not bu en az tüm köşe yana topları içinde bulunmaktadır . Sonra Yani, ve $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $m$ $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ $k$ $V_\ell\subset V_r$

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) \\ = (2 k - 1) min_{w -distributing d} F_{k} (d) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$ . Bu, ve hakkındaki varsayımlarımızla doğru olamaz . Yani iddia iki kanıtlandı.

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Şimdi teoremi kanıtlayalım.

Yana ve vardır bir yol , ile , ve . Bizim yeni inşa olsun fonksiyonu -distributing den , böylece $V_r=V$ $V_s\neq\emptyset$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $m(u)\gt k$ $m(v)\leq k-2$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $w$ $r(m)$ $m$

r (m) (e, u) = {\begin{cases} m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) - 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) for some 0 \leq i \leq m \\ m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) + 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) for some 0 \leq i \leq m \\ m (e, u) & otherwise \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ ve ve , ve dışındaki tüm köşelerde anlaşır . elde etmek için üzerine bu prosedürü uygulayabiliriz . Bu zamanını yeterince büyük bir için tekrarlayarak , ile bir dağıtım fonksiyonu elde . Bununla birlikte, bu varsaydık arasından en az bir arasında -distributing fonksiyonu $r(m)$ $v$ $u$ $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ $r(m)(u)\lt m(u)$ $r(m)$ $r^2(m)$ $i$ $i$ $w$ $r^i(m)$ $F_k(r^i(m))=0$ $F_k(m)>0$ $F(d)$ $w$ $d$ . Bu çelişki Erel-Apass teoremini kanıtladığımızı gösteriyor.

— John L.
kaynak

Kanıtı okudum, iyi görünüyor. Aslında, doğru anlarsam, keyfi bir grafiğe izin verdiğinden daha geneldir - sorum G'nin tam grafik olduğu özel bir durum. Bu doğru mu? Başka bir soru: kanıt, m'nin Fk (m) minimal olacak şekilde olduğu gerçeğini tam olarak nerede kullanıyor? Sadece son paragrafta kullanıldığını görüyorum - kanıttaki önceki iddialar bu gerçek olmadan doğru mu?

— Erel Segal-Halevi

Evet, teorem herhangi bir grafik için doğrudur, çünkü "herhangi bir (basit sonlu) G (V, E) grafiği için" yazmaktadır. Arasında minimality her bir istem için gereklidir. "Counterexample" için arama yaparsanız, minimumluğun nerede kullanıldığını bulacaksınız.

F_{k} (m)

$F_k(m)$

— John L.