Maksimum Akışta Kalan Grafik

14

Burada Maksimum Akış Sorunu'nu okuyorum . Artık Grafiğin arkasındaki sezgiyi anlayamadım. Akışı hesaplarken neden arka kenarları düşünüyoruz?

Artık Grafik Grafik kavramını anlamama yardımcı olabilir mi?

Yönlendirilmemiş Grafiklerde Algoritma nasıl değişir?

— csds
kaynak

28

Maksimum akış probleminde kalan grafiğin arkasındaki sezgi bu derste çok iyi bir şekilde sunulmuştur . Açıklama aşağıdaki gibidir.

Aşağıdaki ağ için en akış problemi çözmeye çalıştığı Varsayalım ki $G$ (burada her bir etiket $f_e/c_e$ O anlamına gelir, her iki akış $f_e$ bir kenar boyunca itilir $e$ ve kapasite $c_e$ bu kenarın):

Olası açgözlü bir yaklaşım şudur:

$P$ $s$ $t$ $\forall e \: (e \in P \rightarrow f_e \lt c_e$ $P$
$\Delta$ $\Delta$ $P$ $\Delta=\min_{e \in P} (c_e-f_e)$
Arttırma yolu bulunmayana kadar 1. adıma gidin.

Yani, kullanılabilir kapasiteye sahip bir yol bulun, bu yol boyunca akış gönderin ve tekrarlayın.

Olarak , sezgisel bulur üzerinde muhtemel bir uygulama, üç takviye yolları , ve , bu sırada. Bu yollar, toplam 5 akış için sırasıyla 2, 2 ve 1 akış birimini iter: $G$ $P_1$ $P_2$ $P_3$

Bu sırayla yolların seçilmesi en uygun çözümü sağlar; Seçtiğimiz ancak, ne olur ilk (yani önce ve )? $P_3$ $P_1$ $P_2$

Engelleme akışı olarak adlandırılan şeyi elde ederiz : daha fazla artırıcı yol yoktur. Bu durumda, toplam akış 3'tür ve bu optimal değildir. Bu sorun, geri alma işlemlerine izin vererek (yani, akışın tersine gönderilmesine izin vererek, önceki yinelemelerin çalışmasını geri alarak) çözülebilir: 2 birim akışı, köşe aşağıdaki köşe geriye doğru itin : $w$ $v$

İzin verilen bu geri alma işlemlerini kodlamak, kalan grafiğin ana hedefidir .

Bir ağ artık grafiği , ile aynı köşe kümesine sahiptir ve her kenar için : $R$ $G$ $G$ $e=(u,v) \in G$

ise, kapasiteli bir ön kenar . $e'=(u,v)$ $c_e-f_e$ $c_e-f_e \gt 0$
ise kapasiteli bir kenar . $e''=(v,u)$ $f_e$ $f_e \gt 0$

Örneğin , sezgisel ilk önce (yani engelleme akışını elde ettiğinde) açgözlü ilk yinelemesinden sonra elde edilen artık grafiğini düşünün : $R$ $P_3$

Not bu geri alma ile ilgili akış iter 2 adet bu çalışma için bir ileri (artırmada) yol olarak kodlanır için olarak : $w$ $v$ $s$ $t$ $R$

Genel olarak:

Kalan grafiğinde bir artırım yolu seçildiğinde : $P'$ $R$

de bir ileri kenara karşılık gelen her kenar, mevcut kapasiteye sahip bir kenar kullanarak akışı arttırır. $P'$ $G$

de geriye doğru giden bir kenara karşılık gelen her kenar , geçmişte ileri yönde itilen akışı geri alır. $P'$ $G$

Ford-Fulkerson yönteminin arkasındaki ana fikir budur .

Ford-Fulkerson yöntemi, yukarıda açıklanan açgözlü yaklaşımla tamamen aynı şekilde ilerler, ancak yalnızca artık grafikte daha fazla artırıcı yol olmadığında (orijinal ağda değil) durur. Kalan grafik aşağıdaki optimallik koşulunu oluşturduğundan, yöntem doğrudur (yani her zaman maksimum akışı hesaplar) :

Bir ağ verildiğinde , artık grafikte yolu yoksa cinsinden akışı maksimumdur . $G$ $f$ $G$ $s-t$

— Mario Cervera
kaynak

Edmonds-Karp algoritmasında açıklandığı gibi yolların en kısa uzunlukta sıralandığı bir örnek var mı? Karşı örneğinizde ilk yol uzunluk 3'tür, ancak daha kısa (yani 2) bir yol bulunabilir ve Edmonds-Karp yapıyorsak ilk olarak eklenir.

— Roy

Orijinal grafikteki tüm yollarının uzunluğunu . Bunu yapmak için, köşe iki ve . Daha sonra, ayrı içine ve . Ayrıca kapasite ile iki kenar ve . Aslen gitti kenar için bundan gidecek için . Başlangıçta kenarı içeren yolu aynı tür engelleme akışını elde edebiliriz .

s - t

$s-t$

3

$3$

v

$v$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

w

$w$

w_{1}

$w_1$

w_{2}

$w_2$

(v_{1}, v_{2})

$(v_1,v_2)$

(w_{1}, w_{2})

$(w_1,w_2)$

2

$2$

v

$v$

w

$w$

v_{1}

$v_1$

w_{2}

$w_2$

(v_{1}, w_{2})

$(v_1,w_2)$

— Mario Cervera

Örneğiniz mantıklı. Söz konusu kenarın en kısa yollardan birinde olmasını sağlamak için grafiği kesimin diğer kenarlarındaki her zaman uzatabiliriz.

— Roy

3

Rezidüel ağın arkasında sezgi bize zaten gelen akışın 2 birimlerini atanan varsa zaten ie akış atanmış bir "iptal" izin vermesidir için o andan itibaren akışın 1 birimini geçerek için bir birim iptal olarak yorumlanır orijinal akış için . $A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$

— Banach Tarski
kaynak