Zor bir karar probleminin sayım varyasyonu neden otomatik olarak zor değil?

2-SAT'ın P'de olduğu iyi bilinmektedir. Bununla birlikte, verilen bir 2-SAT formülüne çözüm sayısını saymanın, yani # 2-SAT'ın # P-sert olması oldukça ilginç görünmektedir. Yani, kararının kolay olduğu, ancak saymanın zor olduğu bir sorun örneğimiz var.

Ancak keyfi bir NP-tam problemi düşünün (3-COL deyin). Sayma varyantının sertliği hakkında hemen bir şey söyleyebilir miyiz?

Gerçekten sorduğum şey: Bir zor karar sorununun sayma varyantını da göstermek için neden başka bir kanıta ihtiyacımız var? P-zor? (Bazen, çözüm sayısını koruyan ve benzeri gibi az miktarda azaltmalar görürsünüz). Sayma problemi varsa Yani gerçekten, oldu kolay, otomatik sıra karar sorunu çözmek olabilir! Peki bu nasıl zor olamazdı? (Tamam, belki zor, ama hangi tanımın zor olduğundan emin değilim).

"Kararın zor olduğu, saymanın zor olduğunu ima ettiği" otomatik bir teorem olmamasının nedeni, bu iki ifadenin farklı "zor" tanımlarını kullanmasıdır.

• Eğer polinom-zaman çok-bir indirgeme (yani Karp indirgeme, polinom-zaman haritalama indirgeme) altında NP -tamamlanmışsa , bir karar problemi zordur .

• Polinom zamanlı Turing redüksiyonları (diğer adıyla Cook redüksiyonları) altında #P tamamlanmışsa sayım problemi zordur .

Bu nedenle, bir karar problemi NP-tamamlanmışsa , ilgili sayım probleminin NP- sert olduğunu biliyoruz, ancak bu zor bir sayım probleminin tanımı değildir. #P -complete olmak sadece NP -hard olmaktan çok daha güçlü bir ifade gibi görünüyor - Toda, #P -complete problemlerinin randomize indirimler altında tüm polinom hiyerarşisi için zor olduğunu gösterdi, bu nedenle #P çok daha yakın hissediyor için Pspace daha  NP .

Ters yöne gidecek olursak, eğer sayım problemi FP'de olma anlamında  kolaysa , o zaman karar problemi  P'dir . Sonuçta, verimli bir şekilde sayabiliyorsanız, cevabın sıfır olup olmadığını kesinlikle anlayabilirsiniz. Ancak, sayma versiyonu sırf "zor değil" (yani, değil #P -tamamlamak) anlamına gelmediğini bunun en "kolay" (yani içinde  FP ). Ladner teoremi #P'ye kadar uzanır  , eğer FP ** # P ** ise, aralarında sonsuz karmaşıklık sınıfları hiyerarşisi vardır, böylece "zor olmayan" sayma problemimiz bunlardan herhangi biri için tamamlanabilir sınıflar ve bu nedenle "kolay" olmamalı $\,\neq\,$

Bunu söyledikten sonra, NP-tamamlanmış bir karar sorununun sayım versiyonunun #P-tamamlanmış olduğu anlamına geldiği varsayımına karşı herhangi bir karşı örneğimiz olduğunu düşünmüyorum . Yani, bir teorem değil ama ampirik olarak doğrudur.