Sadece ilgi dışında Project Euler ( Digit Sum dizisi ) "Recent" kategorisinden bir sorunu çözmeye çalıştım . Ancak sorunu etkili bir şekilde çözmenin bir yolunu düşünemiyorum. Sorun aşağıdaki gibidir (orijinal soru dizisinde başlangıçta iki sorun vardır, ancak diziyi değiştirmez):

Burada Rakam Miktar sekansı .... 1,2,4,8,16,23,28,38,49 olan $n^{th}$ dizisinin terimi toplamı basamak dizisi içinde önceki. Dizinin $10^{15}th$ terimini bulun .

Saf çözüm uygulanamaz çünkü çok zaman alır. Sorunu bir matris üssü vakasına indirmeye çalıştım (bu $O(log ( 10^{15}))$ zaman alır), ancak bu sekans için rekürrens oldukça uygun olduğu için doğrusal kriterlere uyan böyle bir tekrarlama bulamadım tuhaf. Sekansın nüksetme tarafından yönetildiği görülebilir:

burada olup , n t h dizisinin süreli ve d (örneğin sayının rakamlarının giriş döner toplamı olarak doğal bir numara verilir bir fonksiyonudur.$a_n$$n^{th}$$d$ ). İkinci yaklaşımım dizide bir örüntü bulmaya çalışmaktı. Dizinin ilk birkaç teriminin şu şekilde yazılabileceği görülebilir:$\;d(786)=21$

   a_1 = 1  
   a_2 = 1 + d( 1 )
   a_3 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) )
   a_4 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) )
   a_5 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) ) + d( 1 +  d(  
   1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) ) )

Yukarıdaki modelden , dizinin terimi aşağıdaki yöntemle üretilebilecektir:$n^{th}$

1. Aralarına ek sembol ile 1 yazın .$2^{n-1}$ $1$
2. İlk çıktıktan sonra d işlevini sonraki 2 0 terimine, ardından sonraki 2 1 terimine, ardından sonraki 2 2 terimine uygulayın.$1$$d$$2^{0}$$2^{1}$$2^{2}$
3. Ardından, uygulanan her işlevinin bağımsız değişkenlerine yukarıdaki yöntemi yinelemeli olarak uygulayın.$d$

örneğin n = 3 ise aşağıdaki manipülasyonları gerçekleştiririz:

    1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    1 + d( 1 ) + d( 1 + 1 ) + d( 1 + 1 + 1 + 1 )
    1 + d( 1 ) + d( 1 + d(1) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 +d( 1 ) ) )

Dinamik programlama ile , tekrar saf çözeltiden daha iyi olmayan O ( l o g ( 2 10 15 ) ) zamanında yukarıdaki yöntemi kullanarak terimini üretebilirim.$n^{th}$$O(log ( 2^{10^{15}} ) )$

DÜZENLEME 1
Gözlemlenebilecek başka bir şey de . Örneğin d ( a 6 ) = d ( 23 ) = d ( 32 ) = 5 . Ama bu noktadan yararlanamıyorum. Yine (matris üssü için) doğrusal bir yineleme ilişkisi bulmaya çalıştım, ama bulamıyorum.$d(a_n) = d(2^{n-1})$$d(a_6)=d(23)=d(32)=5$

DÜZENLEME 2

Sekansı, daha küçük bir aralığı için çizilmiştir grafiktir aşağıda (ilk dizisinin koşulları çizilmiştir). $10^6$

Not: Project Euler'den çözüm istemenin tavsiye edilmediğini biliyorum. Ama son birkaç gündür daireler çizdiğim için sadece yeni bir yön veya ipucu istiyorum. Bu da kabul edilemez durumdaysa, soruyu kaldırabilirim.

Sıralamanız oeis.org/A004207'de rakam toplamı olarak açıklanmıştır . Dizi mod 9'un yinelenen paterni gibi bazı iyi noktalar vardır , oeis.org/A065075 ve oeis.org/A001370 ile dijital kökleri paylaşır . Bu özellikler yararlıysa açık problemdir ( n - t h sayısı için kapalı form denklemi olmadığından ).$(1, 2, 4, 8, 7, 5)^\infty$$n-th$

Bu dizinin bahsetmeye değer bazı özellikleri vardır: n - t h sayısını
hesaplarken , sadece sayacı (hangi numaranın olduğunu bilmek için) ve numaranın kendisini saklamanız gerekir. Yeniden başlatmak için daha fazla bir şey gerekmez, çünkü bir sonraki sayı geçerli sayı + rakamlarının toplamıdır.$n-th$

İlk başta hızı sağlamak için bazı adımlar atmak, sayıları diziye koymak, pahalı olan naif mod ve div hesaplamalarından kaçınmak iyidir. Bu sürekli hızlanma sağlar, ancak bazen bakmak önemlidir.

Başlangıç ​​noktasından bir sonrakini ve bir sonrakini hesaplayabilirsiniz ve bir noktaya kadar çalışır, bu nokta basamak değişimidir.
Daha da önemlisi, sayılar arttıkça desenler değişiyor.
Rakam toplamları sayıların kendisiyle karşılaştırıldığında küçüktür, bu nedenle çoğu işlemde sayının sadece bir kısmı değişecektir.
Peki gerçekten ne önbellekleyebiliriz?

Aynı rakamlara sahip iki sayıyla bir sonraki sayıyı elde etmenin eklenmesinin aynı olacağını biliyoruz. Sırada ne var?

sasha

Spoiler uyarısı, aşağıda oldukça açık bir önbellek kalıbı

Bu değişmez numaraları gibi, ek şartlara bağlıdır vadede , bunu arayacak vardiya olarak miktarını başlayarak baştan .

Bazı keyfi alarak çalıştırmak gibi ve çekici bir başlangıç gelen 0'a kadar 9'a biz kadar başlangıç noktası her desen önbelleğe alabilir 100 , bazı vermek için gerekli olan sayaç, nasıl başa bilmek elemanların sayısını (saymak n - t h numara) ve ezberleyin. $100$$0$$9$$100$$n-th$

Tamam. Şimdiye kadar herhangi bir başlangıç kapsam dahilinde ne değişiyor ? Eğer gelen çalışırsanız Maalesef bu desenler, durmasına 100 vermede başlatmak eşit 1 , sonraki numaralı sonları mükemmel hesaplanmış, ancak ikinci edilir. $100$
$100$$1$

$1$$0$

$1, 2, 4, 8$

$1$$101$$218$$305$$406$$517$$607$$719$$805$$904$$1003$

$100, 1000, 10000, 100000, 1000000...$
$100$

"Yeni bir yön ya da bir ipucu" istediğinden ve cevabı bilmediğimden, bunu burada bırakacağım, umarım faydalı olur. bazı fikirler:

Bir model mod 9 olması mantıklı, çünkü

$\forall k > 1,k \in \mathbb{Z}\quad10^k \equiv 1 \mod 9$

Hangi indüksiyon ile kanıtlayabilirsiniz.

Bu, tüm sayıların, mod 9 rakamlarının toplamına uygun olduğu anlamına gelir.

$a_n = d(a_n) \mod 9 \implies$

Bu nüksü genişletmeye devam edersek,

$a_{n} = 2^n \mod 9$

Hangi desen modunu açıklar 9.

$a_n = 9k + 2^n$

İşte genel koddan daha az:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

#sum digits of n
def sum_digits(n):
    s = 0
    while n:
        s += n % 10
        n //= 10
    return s

#get the sequence to n digits
def calculate(n):
    retval = [1]
    for i in range(n):
        retval.append(retval[-1] + sum_digits(retval[-1]))
    return retval;

#empirically confirm that a_n = 2^n mod 9
def confirmPow2(a):
    count = 0
    for i in a[:10000]:
        if((i%9) != (2**count % 9)):
            print "false"
        count = count + 1

#find gaps divisible by 9 in a subset of a
def find9Gaps(a):
    count = 0
    S = []
    for i in a[:10000]:
         S.append(((2**count ) - i)/9)
         count = count + 1
    return S

#repeatedly sum the digits until they're less than 9...
#gives some interesting patterns
def repeatedDigitSum():
    for i in range(1000, 1100):
         print "=========for ",i
         while i > 9:
                 i = sum_digits(i)
                 print i 


a = calculate(10**6)
b = find9Gaps(a)
plt.plot(range(len(b[:100])), b[:100])
plt.show()

Arsa (ilk 100 için) üstel görünüyor, ama mükemmel olduğunu sanmıyorum.

İşte çıktı

>>> plt.plot(range(len(b[5:60])), np.log2(np.array(b[5:60])))
>>> plt.show()

Sahip olduğum son şey, bir sayının rakamlarını toplarsanız ve sonra ortaya çıkan sayının rakamlarını toplarsanız ve bunu tekrarlarsanız, nihayetinde bu sayı mod 9'u alırsınız.

10 mod 9'un güçleri hakkında yukarıdaki gerçek göz önüne alındığında mantıklıdır.

Yine de ilginç bir sayı dizisi verir.

Düzenleme: Görünüşe göre bu "dijital kök" denir.