Sırayı göz ardı ederek iki tamsayıyı sıkıştırma

Sıralı bir çifti (x, y) sıralanmamış bir çiftle (x, y} (set) karşılaştırırsak, teorik olarak, x'in önce gelip gelmediği ya da y'nin temsil etmesi için tek bir bit gerektirdiği gibi, fark sadece bir bittir.

Eğer x, y iki farklı 32-bit tamsayı olan bir küme {x, y} verilirse, bunları 63 bite (daha ziyade 64) ayırabilir miyiz? Orijinal 32 bit tam sayıları 63 bit sonuçtan kurtarmak, ancak siparişlerini geri almak mümkün olmamalıdır.

Evet, olabilir. Eğer $x<y$ , eşlemek $\{x,y\}$ numaraya

O göstermek kolaydır $f$ örten ve bu benzersiz çözülecek şekilde. Ayrıca, $0 \le x < y < 2^{32}$ , $0 \le f(x,y) < 2^{63} - 2^{31}$ , bu, kümesini $\{x,y\}$63 bitlik bir eşleştirir. $f(x,y)$ . Kod çözmek için üzerinde ikili aramayı kullanabilir $y$veya bir kare kök alabilirsiniz: $y$ yaklaşık olarak ⌊ olmalıdır..$\lfloor \sqrt{2 f(x,y)} \rfloor$

DW cevap bir ek olarak, nota bu özel bir durum olduğunu Kombinatoryal sayısı Sistemi kompakt bir kesinlikle azalan dizisi eşler, negatif olmayan tamsayılar c k > ⋯ > c 1 için N = k Σ i = 1 ( c $k$$c_k > \cdots > c_1$

Bu sayının basit bir yorumu vardır. Bu sekansları sözlükbilimsel olarak sıralarsak, daha küçük sekansların sayısını sayar.$N$

Kod çözmek için değerini en büyük değere atayın ( c $c_k$ve kod çözmeN- ( c$\binom{c_k}{k} \leq N$ bir(k-1)-seque olarak.$N - \binom{c_k}{k}$$(k-1)$

Bir dizi sayı düzensiz çiftlerinin sayısı olan , N ( N + 1 ) / 2 . Sıralanmamış çiftlerinin sayısı farklı sayı olduğu N ( N - 1 ) / 2 . Bu alan 2 log 2 ( K ) = log 2 ( K 2 ) bir sıralı sayı çift temsil etmek için bitleri ve bir daha az bit varsa, up to arasında bir boşluk elemanlarını ifade edebilir N 2 /$N$$N(N+1)/2$$N(N-1)/2$$2 \log_2(N) = \log_2(N^2)$$N^2/2$. Sırasıyla zorunlu olmayan farklı çiftlerin sayısı, sipariş edilen çiftlerin yarısından biraz fazladır, bu nedenle gösterimde biraz tasarruf edemezsiniz; sıralanmamış farklı çiftlerin sayısı yarıdan biraz daha azdır, böylece biraz tasarruf edebilirsiniz.

Hesaplaması kolay olan pratik bir şema için, 2 gücü olduğu için, bitsel sunum üzerinde çalışabilirsiniz. Al bir = X ⊕ y ⊕ operatör (özel veya bit) XOR. { X , y } çifti ( a , x ) veya ( a , y ) ' den kurtarılabilir . Şimdi ikinci kısımda bir bit kaydetmek için bir numara arayacağız ve x ve y'ye simetrik bir rol vereceğiz$N$$a = x \oplus y$$\oplus$$\{x,y\}$$(a, x)$$(a, y)$$x$$y$böylece sipariş geri alınamaz. Yukarıdaki kardinalite hesaplaması göz önüne alındığında, bu şemanın olduğu durumda çalışmayacağını biliyoruz .$x=y$

Eğer sonra ihtilafa bazı bit konum yoktur. I yazacaksýn x i için i inci bit x (yani X = Σ i x i 2 i için benzer şekilde), ve y . Let k en küçük bit pozisyon almak x ve y farklıdır: k küçüğüdür i öyle ki x i ≠ y i . k en küçük i'dir, öyle ki bir i$x \ne y$$x_i$$i$$x$$x = \sum_i x_i 2^i$$y$$k$$x$$y$$k$$i$$x_i \ne y_i$$k$$i$$a_i = 1$$k$$a$$b$$x$$y$$k$$b = \sum_{i<k} x_i 2^i + \sum_{i>k} x_i 2^{i-1}$$b = \sum_{i<k} y_i 2^i + \sum_{i>k} y_i 2^{i-1}$$x$$x_k=0$$y_k=1$$y$$x_k=1$$y_k=0$$(a,b)$$a$$b$$x$$y$$a$

$a$$b$aralığın yarısı olan herhangi bir sayı olabilir. Bu bir sağlık kontrolüdür: tam olarak sırasız çiftlerin beklenen sayıda temsilini alıyoruz.

Pseudocode ile ^, &, |, <<, >>, ~olmak C benzeri bit operatörleri (XOR ve ya da sol-kaydırma, sağa kaydırma, tamamlayıcı):

encode(x, y) =
  let a = x ^ y
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let z = if x & (1 << k) = 0 then x else y
  return (a, (z & low_mask) | (z & ~low_mask) >> 1)
decode(a, b) =
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let x = (b & low_mask) | ((b & ~low_mask) << 1)
  return (x, a ^ x)

Yapıcı olmayan bir kanıt: var $(2^{32}\times 2^{32} - 2^{32})/2 = 2^{31}(2^{32}-1)<2^{63}$ farklı 32 bit tamsayıların sıralanmamış çiftleri.