Birleştirici matematik ifadeleri hangi işlevleri hesaplayabilir?

Bir birleştirici ifadesi (SK bazında diyelim), birleştirici hesap ifadelerini birleştirici hesap ifadelerine eşleyen bir işlev olarak düşünülebilir. Yani, ifadesi fonksiyonu olarak düşünülebilir ; burada , SK bazında tüm sözdizimsel olarak geçerli birleştirici ifadelerin kümesidir. Bu eşleme, girdiyi ifadeye uygulayarak ve ardından çıktıyı almak için normal forma indirgeyerek gerçekleştirilir. $X$ $X:L \to L$ $L$

SK temeli Turing tamamlandığından, kişi den kadar herhangi bir hesaplanabilir fonksiyon uygulayan bir SK ifadesi olduğunu düşünebilir . Bununla birlikte, bu açıkça doğru değildir, çünkü azaltmanın sonucu her zaman normal formda olacaktır. Bu, bir ifadenin normal biçimde olmayan bir çıktıya sahip olmasının bir yolu olmadığı anlamına gelir. $X$ $L$ $L$

Bunun yerine, SK matematik ifadelerini ile eşleme olarak düşünebilirim , burada normal formdaki SK ifadeleri kümesidir. Herhangi bir hesaplanabilir haritası için, bu haritayı uygulayan bir SK ifadesi var mı? Yoksa birleştirici hesap ifadeleriyle bu şekilde hesaplanabilecek fonksiyonlar kümesi üzerinde başka kısıtlamalar var mı? $L'$ $L'$ $L'$ $f:L'\to L'$ $X$

lambda-calculus combinatory-logic

— Nathaniel
kaynak

Topu yuvarlatmak ve tanımlanabilir fonksiyonların yapısı hakkında daha derin ve daha ayrıntılı cevaplar veren umutlarla Barendregts'in The Lambda Calculus, Sözdizimi ve Anlambilimi (diğer adıyla "İncil"). $\lambda$ $L'\to L'$

Sonuç 20.3.3: tarafından tanımlanan işlevi türlenmemiş tanımlanabilen değildir -calculus, bir terim olup, yani olacak şekilde tüm . $\delta:L'^2\to L'$
$δ (M, N) = {\begin{cases} T r u e if M =_{β η} N \\ F a l s e otherwise \end{cases}$ $\delta(M, N) = \cases{\mathrm{True}\mbox{ if }M=_{\beta\eta}N\\ \mathrm{False}\mbox{ otherwise}}$ $\lambda$ $D$ $D M N =_{β η} δ (M, N)$ $D\ M\ N =_{\beta\eta} \delta(M,N)$ $M,N\in L'$

Kanıt, Böhm ağaçları üzerinde, keyfi lambda terimlerinin normal formlar üzerindeki olası "eylemlerinin" oldukça güçlü bir karakterizasyonunu sağlayan hususları içerir. Özellikle, herhangi bir sabit olmayan bir kapalı dönem için , bulabilirsiniz ve bu şekilde $F$ $n\in\mathbb{N}$ $P_1,\ldots,P_n$

F x P_{1} \dots P_{n} =_{β η} x Q_{1} \dots Q_{k}

$F\ x\ P_1\ldots P_n =_{\beta\eta} x\ Q_1\ldots Q_k$

Bazı , . Bu , böyle bir olamayacağı küçük bir çalışma ile uygulayan varsayımsal bir nin olası biçimlerini büyük ölçüde kısıtlar . $k$ $Q_1,\ldots,Q_k$ $D$ $\delta$ $D$

— cody
kaynak