Birleştirici hesabı için temel kümeler

S ve K birleştiricilerinin, diğer tüm birleştiricilerin kendileri cinsinden ifade edilebileceği anlamında, birleştirici hesabı için bir temel oluşturduğu iyi bilinmektedir. Aynı özelliğe sahip Curry's B, C, K, W temeli de vardır. Sonsuz sayıda bu tür üsler olmalı, ama başka birini bilmiyorum.

Iota birleştirici ve Fokker tarafından inşa edilen / gözden geçirilen diğerleri gibi bir dizi tek birleştirici tabana sahip olduğunun farkındayım . Bununla birlikte, bunlar "uygunsuz" birleştiricilerdir, yani saf soyutlamalardan ziyade diğer birleştiriciler olarak ifade edilirler. ¹ Bu sorunun amaçları için yalnızca uygun birleştiricilerden oluşan temel setlerle ilgileniyorum.

Diğer olası temel kümelerin de incelenmesi var mı? İdeal , çeşitli kombinasyonların sistematik olarak incelendiği Wolfram'ın diğer çeşitli hesaplama modellerini incelemesi boyunca bir şey olacaktır . Özellikle, aşağıdakilerin basit örneklerinin bilinip bilinmediğiyle ilgileniyorum:

• I birleştiricisini içeren minimal temel küme. (Herhangi bir üyeyi kaldırırsanız bunun temel oluşturmayı durdurduğunu, bu nedenle SKI temelinin dikkate alınmayacağını ifade etmek için "minimal" kullanıyorum.)
• Y birleştiricisini veya birleştiricisini (diğer adıyla alaycı kuş) içeren minimal temel küme$\omega$

Kombine mantık için S, K ve B, C, K, W dışındaki diğer olası bazlar hakkında diğer bilgiler gerçekten yararlı olacaktır.

Daha geniş bir nokta olarak, tamamen mekanik bir sistem olarak, yani herhangi bir semantik yorum verilmesi gerekmeyen etiketli düğümleri olan ikili ağaçlarda bir dizi dönüşüm kuralı olarak kombinatoryal analizin çalışılmasıyla ilgileniyorum . Bu yaklaşımı benimseyen kaynaklara yönelik göstergeler çok takdir edilecektir. ( Alaycı Kuşla Alay etmek bu yaklaşımı benimser ancak eksik bir sunum yapar, oysa Barendregt'in Lambda Hesabı semantiğe çok bağlıdır, bu benim ilgilendiğim tamamen mekanik yönleri çıkarmamı zorlaştırır.)

¹ _{kesin olmak için: lambda uygun bir combinator şekilde bir ifadesidir diş taşı burada, P ( x 1 , x 2 , ... ) , sadece var x 1 , x 2 vb. serbest değişkenlerdir ve soyutlama içermezler. Örneğin, ( λ x y z . X ( $(\lambda.x_1x_2\dots P(x_1,x_2,\dots))$$P(x_1,x_2,\dots)$$x_1$$x_2$ uygun bir birleştiricidir, ancak ( λ x . x ( λ y . y ) ) değildir, çünkülambda terimine uygulanan x içerir.$(\lambda x y z. x(z z))$$(\lambda x. x(\lambda y.y) )$$x$}

$C$$T = (\lambda x y. y x)$$W$$\omega = (\lambda x. x x)$$C$$W$$C = B(T(B B T))(B B T)$$W = C(B \omega(B B T))$

İptal edici bir birleştirici (K gibi), oluşturucu bir birleştirici (B gibi), izin veren bir birleştirici (C gibi), çoğaltıcı bir birleştirici (W gibi) ve kimlik birleştirici I içeren herhangi bir birleştirici seti temeldir. I birleştiricisi diğer dört birleştiricinizden türetilmişse, o dört kişi yeterlidir.

Bu Tab = ba ve Ma = aa'nın olduğu B, T, M, K, I gibi bir şeyin de bir temel olduğu anlamına gelir. Aslında, B, T, M, K yeterlidir, çünkü B, T, M, K'den türetilebilirim (bu kanıtlamak kolay değildir; kanıt, önce S'yi B, T, M'den türetmek ve sonra I = SKK.)