NFA'lardan gelen DFA'ların üstel sayıda duruma sahip olabileceğini nasıl kanıtlayabiliriz?

Tüm deterministik olmayan sonlu otomatalar eşdeğer deterministik sonlu otomata dönüştürülebilir. Bununla birlikte, deterministik bir sonlu otomata, bir durumdan işaret eden sembol başına sadece bir oka izin verir. Bu nedenle, devletleri NFA devletlerinin güç setinin üyeleri olmalıdır. Bu, DFA'nın durum sayısının NFA'nın durum sayısı açısından katlanarak ölçeklenebileceğini göstermektedir. Ancak, bunu nasıl kanıtlayacağımı merak ediyordum.

Bir NFA'yı başka bir NFA'ya dönüştüren ancak bir DFA için bunu yapmayan bir işlem tersidir (tüm okları diğer yöne çevirin ve başlangıç ​​durumlarını kabul eden durumlarla değiştirin). Dönüştürülmüş otomat tarafından tanınan dil ters dildir .$L^R = \{u_{n-1}\ldots u_0 \mid u_0\ldots u_{n-1} \in L\}$

Dolayısıyla bir fikir asimetrik bir yapıya sahip bir dil aramaktır. Bundan sonra, bu dil sadece n + O ( 1 ) durumları gerektiren ilk sembollerini inceleyerek tanınmalıdır . Geriye doğru gitmek, A n + O ( 1 ) A'nın alfabe boyutu olduğu durumları gerektiren son n durumunun bir belleğini saklamak gerekir .$n$$n + O(1)$$n$$A^n + O(1)$$A$

Biz formun bir dille arıyorsanız M n uzunluğunun sözcükten oluşur n , S alfabesinin nontrivial alt kümesidir ve M ' herhangi diğer kısıt sağlamaz. En basit A = { a , b } alfabesini de seçebiliriz (tek bir alfabe işe yaramaz, orada daha küçük NFA'ları alamazsınız) ve M ′ = A ∗ . Önemsiz bir S , S = { a } anlamına gelir . Gelince$M_n S M'$$M_n$$n$$S$$M'$$\mathscr{A} = \{a,b\}$$M' = \mathscr{A}^*$$S$$S = \{a\}$ , bunun ile değil korelatı yapar gerektirir S (böylece ters dil için DFA anısını tutmak gerektiğini S ): almak M n = A n .$M_n$$S$$S$$M_n = \mathscr{A}^n$

Böylece . Bu basit bir DFA tarafından tanınan n + 2 devletler.$L_n = (a|b)^n a (a|b)^*$$n+2$

O Geri tanıyan bir NFA veren .$L_n^R = (a|b)^* a(a|b)^n$

En az DFA kabul , en azından sahip 2 , n + 1 durumlarını gösterir. Bunun nedeni, 2 n + 1 uzunluğundaki tüm kelimelerin DFA'da farklı durumlara ulaşması gerektiğidir. (Başka bir deyişle, farklı Myhill-Nerode denklik sınıflarına aittirler .) Bunu kanıtlamak için, u , v ∈ A n + 1 olmak üzere iki ayrı kelime alın ve k'nin farklı oldukları bir konum olmasına izin verin ( u k ≠ v k ). Genelliği kaybetmeden, en varsayalım u $L_n^R$$2^{n+1}$$2^{n+1}$$u,v \in \mathscr{A}^{n+1}$$k$$u_k \ne v_k$ ve v k = b . Sonra u b k ∈ L R n ve v b k ∉ L R n ( b k u ve v için ayırt edici bir uzantıdır). Eğer U ve V , bir DFA aynı duruma yol tanıyan L R , n , böylece daha sonra olur u b k ve v b $u_k = a$$v_k = b$$u b^k \in L_n^R$$v b^k \notin L_n^R$$b^k$$u$$v$$u$$v$$L_n^R$$u b^k$$v b^k$Biri kabul edilebilir bir duruma götürdüğü ve diğeri yapamadığı için bu imkansız.

Teşekkür: Bu örnek Wikipedia'da açıklama yapılmadan alıntılanmıştır . Makale, daha sıkı bir sınır veren okumadığım bir makaleye atıfta bulunuyor:
Leiss, Ernst (1981), "Boolean otomatlarıyla düzenli dillerin özlü gösterimi", Teorik Bilgisayar Bilimi 13 (3): 323-330, doi: 10.1016 / S0304-3975 (81) 80005-9 .

Dillerin aşağıdaki ailesini düşünün: $L_n = \{ x_1, x_2, \ldots, x_k \# x_{k+1}: \exists i \in \{1, \ldots, k\} \text{ with } x_i = x_{k+1} \}$

Alfabesinin ise { # , 1 , ... , n } .$L_n$$\{\#, 1,\ldots, n \}$

L n dilini tanıyan durumlu bir NFA vardır . Bu sahiptir n kopya. In i kopyalamak inci biz son harfi olacağını tahmin i ve bizim tahmin edin. 3 durumlu böyle bir kopya oluşturmak kolaydır . Tek determinizm başlangıç ​​durumundadır.$O(n)$$L_n$$n$$i$$i$$3$

Ancak, tanıdığı hiçbir DFA yoktur az olan 2 O ( n ) sezgisel, bir DFA gerekir, çünkü devletler hatırlamak alt kümelerini { 1 , ... , n } .$L_n$$2^{O(n)}$$\{1,\ldots, n\}$

Eminim Sipser'in kitabında bu örnek var.

Başka bir örnek, alfabenin bir sembolünü kaçıran tüm kelimelerin dilidir. Alfabe boyutundaysa , bir NFA bir başlangıç ​​durumunu "tahmin edebilir" ve bu nedenle n durumlu dili kabul edebilir . Öte yandan, Nerode teoremini kullanarak, bu dil için minimum DFA boyutunun 2 n olduğunu görmek kolaydır .$n$$n$$2^n$

Bu örnek ayrıca NFA'ların tamamlama altında üssel bir patlamaya neden olabileceğini göstermektedir. Aslında, alfabenin tüm sembollerini içeren tüm kelimelerin dili için herhangi bir NFA'nın (hatta bağlamsız gramer) üstel duruma sahip olması gerektiği bilinmektedir .