Dilbilgisi ve Otomata Dillerinde Karar Verme

Bu bir üniversitede CS kursuna çalışmaya ilişkin bir sorudur Not, bu ödev DEĞİLDİR ve bulunabilir burada Güz 2011 exam2 altında.

İşte geçmiş bir sınavdan baktığım iki soru. İlki gibi görünüyorlar, ilki:

İzin Vermek

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}} = \{ < \! G \! > \mid G \text{ is a Context Free Grammar with } |\mathcal{L}(G)|<\infty \}$

Kanıtlamak karar verilebilir bir dildir. $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{CFG}}$

ve...

İzin Vermek

$\qquad \mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}} = \{ < \! M\!> \mid M \text{ is a Turing Machine with } |\mathcal{L}(M)|<\infty \}$

Kanıtlamak karar verilemez bir dildir. $\mathrm{FINITE}_{\mathrm{TM}}$

Bu sorunların üstesinden nasıl geldiğim konusunda biraz kayboldum, ancak doğru yönde olabileceğini düşündüğüm birkaç anlayışım var. Olduğu ilk şey farkındayım ki bu dil ,$A_{\mathrm{REX}}$

$\qquad A_{\mathrm{REX}} = \{ <\! R, w \!> \mid R \text{ is a regular expression with } w \in\mathcal{L}(R)\}$

karar verilebilir bir dildir (kanıt Michael Sipser'in Hesaplama Teorisinde , s. 168). Aynı kaynak, Bağlamdan Bağımsız Dilbilgisinin normal bir ifadeye dönüştürülebileceğini ve tam tersini de kanıtlar. Bu nedenle , düzenli bir ifadeye dönüştürülebileceğinden de karar verilebilir olmalıdır. O Bu durum ve A T M olan un -decidable, bu sorunla ilgili gibi görünüyor.$A_{\mathrm{CFG}}$$A_{\mathrm{TM}}$

I düşün tek şey için Turing makinelerine G geçtiği ve (normal ifade G dönüştürme sonra) bir T M . Sonra G'nin kabul edip etmediğini kabul etmek ve G olmazsa reddetmek. As A T M undecidable, bu asla olmayacak. Bir şekilde burada bir hata yaptığımı hissediyorum, ama bunun ne olduğundan emin değilim. Burada birisi bana yardım edebilir mi?$A_{\mathrm{REX}}$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$

1. G dönüştürmek Chomsky Normal forma . Bu şekilde, tek boş türetme, başka hiçbir yerde görünmeyen başlangıç ​​sembolü olacaktır ve bu nedenle sonunda kendini üretebilecek bir üretim varsa, o zaman dilbilgisi sonsuzdur. Böyle bir üretim yoksa, her sembol yalnızca sonlu dizeler oluşturabilir ve daha sonra dilbilgisi sonlu olur. Dolayısıyla, her üretimin bir düğüm olduğu ve bir üretim içindeki her sembolün bu sembolü hedefleyen bir kenar olduğu yönlendirilmiş bir grafik oluşturun. Grafikte bir döngü varsa, CFG sonsuzdur, aksi halde değildir. Dolayısıyla için bir Turing makinesi tam olarak bunu yapan bir yapı olabilir ve sonra F $FINITE_{CFG}$ karar verilebilir.$FINITE_{CFG}$

2. Diyelim ki karar verilebilir. Diyelim ki H , giriş olarak bazı dizeleri olan ve kendisini F I N I T E T M'ye giriş olarak kullanan bir Turing makinesi . Eğer F ı K I T e T M , gerçek (yani döner H , sadece sınırlı bir dil kabul eder), daha sonra $FINITE_{TM}$$H$$FINITE_{TM}$$FINITE_{TM}$$H$$H$girişi kabul eder, bu da girdi kümesi sonsuz olduğu için bir çelişkiye yol açar (girişin uzunluğu sınırsızdır, bu nedenle olası herhangi bir dizeyi giriş sonsuz bir dizi kümesini kabul etmek olarak kabul edin). Eğer (yani, yanlış döndürür , H 'in dil sonsuz), o zaman , H , yani giriş reddeder H , herhangi bir giriş kabul etmez, çünkü dilinden sonlu' (yani, dil boş), bu da bir çelişkiye yol açar. Bu şekilde, H'nin var olduğu varsayımı çelişkiye yol açar ve bu varsayım, F I N I $FINITE_{TM}$$H$$H$$H$$H$ Karar verilebilen bir. Dolayısıyla, çelişkili olarak, F I N I T E T M'nin karar verilemezolduğuna sahibiz.$FINITE_{TM}$$FINITE_{TM}$

Aynı kaynak, Bağlamdan Bağımsız Dilbilgisinin normal bir ifadeye dönüştürülebileceğini ve tam tersini de kanıtlar.

Sipser'in muhtemelen yanlış ya da yanlış anladığını söyleyeceğinden şüpheliyim. Bu, bağlamdan bağımsız gramerlerin, sağ doğrusal gramerlerle tam olarak aynı dilleri oluşturduğu anlamına gelir. Bu yanlış; sağ doğrusal dilbilgisi dillerinin bağlamsız dilbilgisi dp'nin uygun bir alt kümesidir. Bununla birlikte, soruları cevaplamak için normal dilleri kullanma şekliniz sizi hiçbir yere götürmez.

Kanıtlarımda yukarıda da görebileceğiniz gibi, iki soru aslında çok farklı, ilgisiz iki sorudur. Sadece benzer şekilde ifade edilmiş olurlar.

Karar vermenin başka bir yolu $FINITE_{CFG}$ pompalama lemmasıdır.

Pompalama lemması her CFL'nin $L$ bir numarası var $N$ (dilbilgisinden hesaplanabilir veya en azından bir üst sınırı kolayca hesaplanabilir), $x\in L$ hangisinden daha uzun $N$ pompalanabilir.

Bu demektir ki eğer $L$sonludur, içindeki tüm kelimeler$L$ daha kısadır $N$.

Şimdi, kontrol edilmesi gereken tek şey, $N$ ve $2N$. Böyle bir kelime varsa, o zaman$L$sonsuzdur. Bu ifadenin "sadece ve sadece" olduğunu görmek çok zor değil, bu nedenle bu aralıkta hiçbir kelime bulamazsanız,$L$sonludur. Buradaki verimlilik Victor'un cevabından çok daha kötü, ancak CFL'lerin yapısı hakkında bir şeyler öğretiyor.