Kuantum bilgisayarlar ve Turing makineleri arasındaki karşılaştırma referansları

Bana kuantum bilgisayarların Turing makinelerinden hesaplamalı olarak daha güçlü olmadığı söylendi. Birisi bu gerçeği açıklayan bazı literatür referansları vermede nazikçe yardımcı olabilir mi?

Aslında durum, kuantum bilgisayarın hesaplayabileceği her şeyi, Turing makinesinin de hesaplayabilmesidir. (Bu, Turing makinesinin bir kuantum bilgisayarla karşılaştırıldığında işlevi hesaplamanın ne kadar sürdüğü hakkında hiç yorum yapmadan .

Kuantum hesaplamasını anlamanız şartıyla bunu görmek gerçekten zor değil. Tipik bir geçit kümesi üzerindeki bir kuantum devresi için, sonuç, üniter bir matrisin katsayıları tarafından belirlenen bir olasılık dağılımı ile yönetilir. Bu üniter matris, kapıların matris ürünüdür ve - eğer yeterince sabırlıysanız - klasik bir bilgisayar tarafından hesaplanabilir. Bu nedenle, şeffaflık açısından (verimliliğin aksine), kuantum bilgisayarları kullanmanın bir avantajı yoktur.

Kuantum mekaniği kaynaklanan bütün meydan böyle katsayıları hesaplanabilir konusu karara bağlanacak verimli onlar hesaplanabilir edip daha zorlu bir sorun olan, hiç .

Bir kuantum geçidi düşünün. Tüm teknik detayları yumuşatarak matrisi olarak gösterilebilir . Kapıya bir girdi diyelim | cp ⟩ bir vektör olan hacim , AND kapısının çıkışı vektörüdür G v .$G$$\vert \phi \rangle$$v$$Gv$

Şimdi bir devre düşünün. Bir devre sadece kapıları bir demet Ve kendisi de bir "genel kapı" olarak görülebilir devre C = G N ⋯ G 2 G 1 giriş durumu üzerinde çalışır, (vektör V ). [Yine, bu çok kaba bir soyutlama.]$\{G_1, G_2, ... \}$$C=G_n \cdots G_2 G_1$$v$

Yani temelde, bir giriş üzerinde bir devre hesaplanması , sadece vektör işlem olup Cı- v veya G N ⋯ G 2 G 1 V . Böyle bir görevin (matris çarpımı ve matrisin vektörle çarpımı) klasik bir TM tarafından yapılabileceği açıktır, bu nedenle TM en azından bir kuantum-TM (QTM) kadar güçlüdür [tamam, klasik devreler kuantum kadar güçlüdür devreleri. boşver.]$\vert \phi \rangle$$Cv$$G_n \cdots G_2 G_1 v$

Öte yandan QTM, TM kadar önemsizdir ve bu nedenle her iki model de eşdeğerdir.

Yorumlar nedeniyle DÜZENLEME
Hangi "bilgisayar" ın daha güçlü olduğunu sormak için, öncelikle daha "hesaplama açısından güçlü" olmanın ne anlama geldiğini açıklığa kavuşturmamız gerekir. Ve bu yarı felsefi tartışma şu soru ile başlar:

Hesaplama nedir?

"MP3 çalar" dosyaları bir hesaplama mıdır? Rasgele sayılar çıkarmak bir hesaplama mıdır?

Standart tanım, bir hesaplamanın "bir işlevi hesaplamak" olduğunu söyler. Yani, her giriş (herhangi bir sonlu uzunlukta herhangi bir dize olabilir), y = f ( x ) çıktısı , burada yine y keyfi (sonlu) uzunlukta bir dize olabilir. Bilgisayarınız herhangi bir x için y çıkışı sağlayabilirse , f hesaplayabileceğini söylüyoruz .$x$$y=f(x)$$y$$y$$x$$f$

Şimdi, bu bilgisayar "A" "B" daha güçlü daha fonksiyonlarını hesaplar sadece araç söylemek daha B . Benzer şekilde,$f$$B$

İki model, ve B olarak kabul edilir eşdeğer , eğer herhangi bir fonksiyon için f , A değerlerini hesaplar f ancak ve ancak B değerlerini hesaplar f .$A$$B$$f$$A$$f$$B$$f$

Tamam, diyorsun, ama bir saniye, rasgeleleştirme var .. Bir kuantum bilgisayarı sadece çıktısı değil . Bu çıktılar y 1 olasılığı ile p 1 ya da Y , 2 olasılığı ile p 2 ya da .... $y$$y_1$$p_1$$y_2$$p_2$$^0$

Gerçekten .. Ve bu bir fonksiyon hesaplamanın standart tanımını genişletir. Çözebilir ve tanımlarımızı çeşitli şekillerde genelleştirebiliriz. (1) bir seçenek cevabı yani , belirli bir y ı olasılığı vardır p i > 0.75 (ve en fazla böyle bir değeri vardır) 1 . O varsayarsak f çıkışları sadece tek bir bit, daha sonra "çıkış f ( x ) her zaman iyi tanımlanmıştır 2 böyle bir değeri varsa, Aksi takdirde., Ve tüm çıkışlar söyleyebiliriz küçük olasılığına sahip $f(x)$$y_i$$p_i>0.75$$^1$$f$$f(x)$$^2$$f$bu girişte tanımlanmamıştır; (2) İkinci bir seçenek çıkış yani listesi ( Y 1 , s 1 ) , ( y 2 , s 2 ) , . . . . Bunun iyi tanımlanması için, bir sonlu listeye sahip olmalıyız, çünkü çıkış dizesinin sonlu olmasını istedik.$f(x)$$(y_1,p_1), (y_2,p_2),...$

Yukarıdakilerle birlikte, olasılıklara sahip olmanın modelin gücünü değiştirmediği açık olmalı ve klasik bir TM, her çıkış için olasılıkla birlikte olası çıkışların listesini çıkarabilir. bir TM matrisleri çoğaldığında ve bir vektörü çıkardığında tam olarak bu olur - vektör olası her ölçüm çıkışının olasılığını temsil eder.

^{Bu sorun kuantum hesaplama için benzersiz değildir. Klasik olasılıksal hesaplama da aynı sorundan "muzdariptir". 1 Neden p = 0.75 ? Sebep yok. 1 / 2'den büyük herhangi bir sabitişe yarayacaktır. 2 Neden f çıkışının bir bit olduğunu varsayalım? çünkü yeterlidir .. Daha karmaşık bir fonksiyonu tek bitlik bir çıkışla bir veya daha fazla fonksiyona indirgeyebiliriz. Ama bu bizim tartışmamız için önemli değil. $^0$
$^1$$p=0.75$$1/2$
$^2$$f$}

diğer cevaplar geçerlidir, sadece karmaşıklık sınıfı ayrımları ve kuantum ile klasik hesaplama arasındaki modern araştırmaların merkezinde gerçekten çok derin (büyük ölçüde hala açık / çözülmemiş) bir soru olduğunu vurgulayan bir soru eklemek istiyorum. bunlar işlevsel TM'lere ve QM bilgisayarlar hem kanıtlanmış kadarıyla eşdeğer tam Turing ; bunu kanıtlamanın birkaç yolu vardır.

ancak karmaşıklık teorisindeki denklik, zaman ve mekan inceliklerine / verimliliklerine, yani belirli algoritmaları hesaplayacak kaynaklara çok bağlıdır. ve ayrıca QM hesaplamasında teorik gürültüsüz modellerin pratikte "gerçek" ya da ulaşılamayabileceğini ve gerçek modellerin önemli gürültüye sahip olabileceğini / olacağını düşünen çok sayıda araştırma var. bu gürültüyü, vb. hafifletmek için karmaşık planlar vardır .; RJ Liptons blogundaki çeşitli yazılarda bununla ilgili mükemmel yorumlar var, örneğin 21. yüzyılın uçan makineleri

örneğin Faktoring'in P zamanında, kuantum algoritma sınıfı olan BQP'de, Shor tarafından , o zamanlar dramatik olması nedeniyle QM hesaplamasına büyük miktarda ciddi bir çalışma / araştırma başlattığının ünlü bir kanıtla olduğu kanıtlanmıştır . sonuç.

$\stackrel{?}{=}$

Scott Aaronson, subj üzerinde mükemmel bir yazar / araştırmacıdır ve meslekten olmayanlar için erişilebilir bazı makaleler yazmıştır. bkz. örneğin QM bilgisayarların sınırları, SciAm veya QM bilişim, yeni anlayışlar vaat ediyor, NYT .