Bölme fonksiyonu için cebirsel formülün algoritmik sonuçları?

Bruinier ve Ono , bölme işlevi için , büyük bir atılım olduğu bildirilen cebirsel bir formül bulmuşlardır . Makaleyi anlayamıyorum, ancak bölümleme işlevinin hızlı hesaplanması için herhangi bir algoritmik sonucu var mı?

algorithms complexity-theory number-theory

— sdcvvc
kaynak

Lütfen atılımla ilgili ifadeye bir bağlantı verebilir misiniz? Ne anlamda bir atılım olduğunu görmek istiyorum.

— Jernej

@Jernej için sonlu açık bir formüldür . Daha önce sonsuz bir seri olan Rademacher genişlemesi ve çeşitli özyineleme formülleri vardı.

p (n)

$p(n)$

— Yuval Filmus

Rademacher'in formülünün pratikte (ve belki de teoride de) Bruinier ve Ono formülünden daha hızlı olduğuna dair bilgisiz inancım var. Rademacher'in asimptotik genişlemesi sonsuz bir toplam olsa da, nin bir tam sayı olduğunu biliyoruz, bu nedenle genişlemenin kuyruklarında sınırlarımız varsa, yi hesaplamak için formülü kullanabiliriz . Göre Calkin ve diğ. "Rademacher'in tam formülü çok hızlı bir algoritma verir". $p(n)$ $p(n)$

Bruinier ve Ono, algoritmalarını uygulamak için makalelerinin 5. Bölümünde neler gerektiğini açıklamaktadır. İlk adım için olan temsilcileri belirlemektir . Soundararajan'a göre , , bu yüzden formül toplamlarını içerecektir. Yani daha kötü hale getirir Euler formülü için ikincisi kuşkusuz gerektirir olsa (hesaplama konuşma) bellek. $\mathcal{Q}_n$ $h(-24n+1)$ $h(-24n+1) = \Theta(n)$ $\Theta(n)$ $p(n)$ $\Omega(n)$

— Yuval Filmus
kaynak

Aslında, (1) ' de Rademacher formülünün çok dikkatli bir şekilde uygulandığında teorik olarak yarı optimal (ve sezgisel olarak, pratik olarak optimal) olduğunu gösteriyorum.

— Fredrik Johansson