İndüksiyon-indüksiyon nedir?

Ne indüksiyon-indüksiyon ?

Bulduğum kaynaklar:

• HoTT kitabı , bölüm 5.7'nin sonunda.
• nLab'ın makalesi
• adı verilen bir kağıt Endüktif endüktif tanımlar
• bu blog yazısı ayrıca tümevarımsal-tümevarımcı türlerden de bahseder

İlk iki referans benim için çok kısa, son iki referans ise çok teknik. Herkes layman'ın terimiyle açıklayabilir mi? Agda kodu varsa daha iyi olurdu.

Tamamlayıcı 2016-10-03: İndüksiyon indüksiyonunu ve indüksiyon- tekrarını karıştırdım (ilk kez yapmadım!). Dağınıklıktan dolayı özür dilerim. Cevabı her ikisini de kapsayacak şekilde güncelledim.

Açıklamaları Forsberg & Setzer'in makalesinde buluyorum Endüktif-endüktif tanımların aydınlatıcı sonlu bir aksiyomatizasyonu .

İndüksiyon-yineleme

Bir indüktif özyinelemeli tanım türü tanımlayan olduğu bir dengedir $A$ ve tip bir aile $B : A \to \mathsf{Type}$ özel bir şekilde eş zamanlı olarak:

1. $A$ , endüktif tip olarak tanımlanır.
2. $B$ ,$A$ üzerindeki özyineleme ile tanımlanır.
3. En önemlisi, $A$ tanımı $B$ kullanabilir .

Üçüncü gereklilik olmadan, önce $A$ sonra ayrı olarak $B$ tanımlayabiliriz .

İşte bir bebek örneği. Aşağıdaki kuruculara sahip olmak için $A$ endüktif olarak tanımlayın :

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

$B$ tipi ailesi ,

• $B(a) = \mathtt{bool}$
• $B(\ell(x, f)) = \mathtt{nat}$ .

Peki, $A$ ne var ? Her şeyden önce biz bir eleman var

$$a : A.$$ Bunun için, bir tür olduğu $B(a)$ olarak tanımlanır $\mathtt{bool}$ . Bu nedenle, iki yeni elemanlar oluşturabilir $$\ell(a, \mathtt{false})$$ ve $$\ell(a, \mathtt{true})$$ içinde $A$ . Şimdi $B(\ell(a, \mathtt{false})) = B(\ell(a, \mathtt{true})) = \mathtt{nat}$ , böylece her$n : \mathtt{nat}$ $$\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n) : A$$ elemanları için de oluşturabiliriz ( ℓ ( a , f a l s e ) , n ) : A ve $$\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n) : A$$ Böyle devam edebiliriz. Bir sonraki aşama, olacaktır, çünkü $$B(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n)) = \mathtt{nat}$$ her için orada$m : \mathtt{nat}$ elemanı $$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n), m) : A$$ ve $$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n), m) : A$$ öğesi : A Devam edebiliriz. Biraz düşünme,$A$ doğal bir listenin aşağı yukarı iki kopyası olduğunu ve ortak bir boş listeyi paylaştığınıortaya koyuyor. Nedenini bulmak için bir egzersiz olarak bırakacağım.

İndüksiyon-indüksiyon

Bir endüktif-endüktif tanım aynı zamanda bir tip $A$ ve aynı zamanda bir tip $B : A \to \mathsf{Type}$ ailesini tanımlar : A → T y p e :

1. $A$ endüktif olarak tanımlanır
2. $B$ endüktif olarak tanımlanır ve$A$
3. En önemlisi, $A$ , $B$ atıfta bulunabilir .

İndüksiyon-özyineleme ve indüksiyon-indüksiyon arasındaki farkı anlamak önemlidir. İndüksiyon-özyinelemede , B ( c ( … ) ) = ⋯ formunun denklemlerini sağlayarak $B$ tanımlarız , burada c ( … ) A için bir yapıcıdır . Endüktif-endüktif bir tanımda , B'nin elemanlarını oluşturmak için yapıcılar sağlayarak B'yi tanımlarız .

$$B(\mathsf{c}(\ldots)) = \cdots$$ $\mathsf{c}(\ldots)$$A$$B$$B$

Önceki örneğimizi, tümevarım-tümevarım olarak yeniden biçimlendirelim. İlk olarak endüktif olarak verilen tpye $A$ sahibiz :

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

$B$ tipi aile aşağıdaki kurucular tarafından tanımlanır:

• $\mathsf{Tru} : B(a)$
• $\mathsf{Fal} : B(a)$
• Eğer $x : A$ ve $y : B(x)$ daha sonra $\mathsf{Zer} : B(\ell(x,y))$
• Eğer $x : A$ ve $y : B(x)$ ve $z : B(\ell(x,y))$ daha sonra $\mathsf{Suc}(z) : B(\ell(x,y))$ .

Gördüğünüz gibi , B ( a ) ' nın booleanlar ( B ( ℓ ( x , y ) )' nin doğal sayılar (izomorfik ) olduğunu söyleyen miktarda $B$ elementini üretmeye yönelik kurallar verdik .$B(a)$$B(\ell(x,y))$