İki taraflı eşleşmeye maksimum akışı azaltma?

Maksimum iki taraflı eşleştirme sorunundan maksimum akış sorununa kadar ünlü ve zarif bir azalma var: kaynak düğümü , bir terminal düğümü ve eşleştirilecek her öğe için bir düğüm, ardından uygun kenarları ekleyen bir ağ oluşturuyoruz .$s$$t$

Polinom zamanında maksimum akışı maksimum bipartit eşleştirmeye indirmenin bir yolu vardır, çünkü her ikisi de ayrı ayrı polinom zamanında çözülebilir. Ancak, maksimum akıştan (genel grafiklerde) maksimum bipartit eşleşmesine "hoş" bir polinom zamanı azalması var mı?

Garip bir şekilde, böyle bir azalma bilinmemektedir. Bununla birlikte, yakın tarihli bir makalede, Madry (FOCS 2013), birim kapasite grafiklerindeki maksimum akışın , bipartit grafiklerde maksimum -eşleşmesine (logaritmik olarak birçok örnek) nasıl düşürüleceğini göstermiştir .$b$

Maksimum eşleme sorununa aşina değilseniz , bu, aşağıdaki şekilde tanımlanan eşleşmenin genelleştirilmesidir: giriş bir grafiktir (bizim durumumuzda, iki taraflı bir grafik), ve a her köşe için ayrılmaz talep kümesi, köşe talebi ile gösterilir . Amaç kenarlarının bir olası en büyük dizi bulmaktır hiçbir tepe böyle daha vardır kenarlar üzerine olaydan . Bipartit eşleşmesinden maksimum akışlara indirgemeyi genelleştirmek ve bipartit benzer bir azalma göstermek basit bir alıştırmadır.$b$$G=(V,E)$$v$$b_v$$S$$v$$b_v$$S$$v$$b$-Maksimum akışlarla eşleştirme. Madry'nin makalesinin şaşırtıcı sonuçlarından biri, bir anlamda bu sorunların eşdeğer olması ve birim kapasite grafiklerinde (genellikle, kapasite toplamının, olduğu maksimum akışı azaltan) basit bir azalma kenar sayısı bakımından doğrusaldır, ) düğümleri, köşeleri ve taleplerin toplamını içeren bir grafikteki eşleme problemine .$|u|_1$$m$$b$$O(m)$

Eğer detaylarda ilgilenen ediyorsanız, yukarı Madry en kağıdın arXiv versiyonunun Teorem 3.1 ve (Ek C ve doğruluğu ispatı) bölümünde 4'e, bölüm 3'e bakın burada . Terminoloji açık değilse, eşleme problemiyle ilgili bir özet için bölüm 2.5'e bakın ve orijinal maksimum akış örneğinde kenarı kapasitesi olduğunu unutmayın .$b$$u_e$$e$

İşte sorunuza cevap vermeye çalışın:

Konig'in iki taraflı eşleşmelerdeki teoremi, Max-Flow Min-Cut teoremi kullanılarak kanıtlandı ve sonuç olarak azaltıldı. Konig teoremi şunları ifade eder. G iki taraflı bir grafikse, max {| M | : M eşleşiyor} = dk {| C | : C bir örtü}. Kanıt. Max {| M |} ≤ {| C |} kısmı önemsizdir. P ve Q bipartition G. sınıfları Her iki köşe, r ve s G ve arkları RP eklemek olsun ve qs her için den ve doğrudan kenar pq için . Bu bir digrafı . U (rp) = 1, u (pq) = , u (qs) = 1 kapasitelerini tanımlarız. X, uygulanabilir bir integral akış x, sonra x (e) = 0 veya 1 olsun, M = { : x (e) = 1} içinde. M ile | M | =$p\in P$$q \in Q$$p\in P$$q\in Q$$G_{∗}$$\infty$$e \in E$$f_{x}$ . Daha sonra, G'de eşleşen bir M, de = | M | aşağıdaki gibi. ise x (pq) = 1'i , p M'de bir kenara rastlarsa x (rp) = 1'i tanımlayın, eğer bir kenara rastlarsa x (qs) = 1, diğer tüm durumlarda x (e) = 0. Böylece, G cinsinden M ile eşleşen bir maksimum boyut , boyutu Max-Flow Min-Cut teoremiyle minimum kesime eşit olan bir maksimum akışa karşılık gelir . Minimum r - s kesimini δ (R) düşünün. Sonlu kapasiteye sahiptir, bu nedenle ark pq içermez. Daha sonra G'nin her kenarı bir C = (P \ R) elementiyle, yani C bir . Ayrıca, u (C) = | P \ R | +ve böylece C | M |$G_{∗}$$f_{x}$$pq \in M$$G_{∗}$$\cup (Q \cap R)$$|Q \cap R|$

Demek istediğim bu soruda sorduğunuz her şey ve bu benim potansiyel cevabım :).