(λ x. xx) bir türe sahipse, tip sistemi tutarsız mıdır?

Bir tür sistemi λ x . x xsonlandırmaya veya sonlandırmaya bir tür atayabilirse , (λx . x x) (λ x . x x)sonuç olarak bu sistem tutarsız mıdır? Bu sistem altındaki her tipte yerleşim var mı? Yanlış olduğunu kanıtlayabilir misin?

Kesinlikle, bir tür atamak olan değil tutarsızlık için yeterli: sistemi , biz derived $\lambda x. x\ x$λ x . x x : ( ∀ x . x ) → ( ∀ x . x $F$

oldukça basit bir şekilde (bu iyi bir egzersiz!). Bununla birlikte, , bu tür iyi yazılmış terimlerin normalleştirildiğini ima ettiğinden, 2. dereceden aritmetiğin ω tutarlılığı olduğu varsayılarak, bu sisteme iyi yazılamaz.$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$ $\omega$

Ayrıca, sistemi tutarlıdır. Either X tipi herhangi bir terimin gösterilebileceği gibi, bu her iki normalizasyondan da kaynaklanmaktadır . X normal bir forma sahip olamaz veya her türün bir kümeye atandığı çok daha basit bir argüman olamaz , ya ∅ veya { ∅ } ve türetilebilir tüm türlere { ∅ } ve ∀ X atandığı gösterilebilir . X , ∅ olarak atanmıştır (ve bu nedenle türetilemez).$F$$\forall X.X$$\varnothing$$\{\varnothing\}$$\{\varnothing\}$$\forall X.X$$\varnothing$

İkinci argüman birinci dereceden aritmetik olarak yürütülebilir. Gerçek şu ki tutarlı bir sistemde iyi yazılabilir, biraz rahatsız edici olarak görülebilir ve sistemlerin emsalsizliğinin bir sonucudur . Bazı insanların imkansız mantık sistemlerinin güvenilirliğini sorgulaması sürpriz olmamalıdır. Ancak, bu tür sistemlerde şu ana kadar herhangi bir tutarsızlık bulunamamıştır.$\lambda x.x\ x$

Öte yandan, tutarlı bir sistemde iyi yazılamayacağına dair daha genel bir iddiada bulunabilmek için, sisteminizde yeterli "mantıksal yapıya" tutarlılık açıkça tanımlayabilmek için yazım sistemi. O zaman, normal bir kafa şekli olmayan bir terimin (yukarıdaki gibi) herhangi bir türe sahip olabileceğini göstermeniz gerekir, ki bu da açık değildir!$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

İlgili bir soruya verdiğim yanıtta daha fazla ayrıntı bulabilirsiniz: /cstheory//a/31321/3984