İki uçlu grafiğin düzlemsel olması ve kenarların köşeleri dönmemesi için koşullar

İki taraflı bir grafik düzlemseldir, veya küçükleri yoksa .$K_{3, 3}$$K_5$

Köşeleri olmayan "köşe" çizgileri olmayan düzlemsel çizimlere izin vermek için gerekli veya / ve yeterli koşulları arıyorum. Bunlar tatmin edici çizimler:

1. Bir parçanın tüm köşeleri tek bir dikey çizgide çizilir. Diğer parçanın tepe noktaları paralel bir dikey çizgi üzerinde çizilir.
2. Köşeler dışında kenarlar kesişmez.
3. Kenarların tümü, 1. noktadaki iki dikey çizgi arasındaki sonsuz şerittedir.

Örneğin, sağ alttaki hariç tüm çizimler örnek değildir. Sol alt grafik, Q ve R konumlarını değiştirerek koşulları karşılamak için yeniden çizilebilir. Üstteki iki grafik, koşulları karşılamak için yeniden çizilemez.

İlk iki grafik bulabildiğim tek engel. Sorularım:

1. Bu sorunun bir adı var mı?
2. Kaçırdığım başka engeller var mı?
3. Elbette küçükler olarak bu iki engelin (kaçırdığım herhangi bir şeyle birlikte) gerekli ve yeterli olduğunu nasıl kanıtlayabileceğim konusunda ipuçları.

Bunun dış düzlemsel olmakla aynı olmadığını, dış düzlemsel olduğunu (kare şeklinde çizilebilir), ancak yukarıda bahsettiğim koşulları karşılamak için çizilemez.$K_{2, 2}$

Grafikleriniz tam olarak yol genişliği  veya her biri bileşenleri tırtıl olan ormanların . Tırtılların iki ilgili özelliği vardır:$1$

• bunlar, fazla her bir tepe noktasını içeren tek bir yolun olduğu ağaçlar  ;$1$

• onlar her tepe noktasının en fazla iki yapraksız komşusuna sahip olduğu ağaçlardır.

Lemma 1. Her tırtıl sınıfınızda.

Kanıt. olsun$G$ bir tırtıl olabilir ve izin derece her köşe ihtiva eden bir uzun yol olmak  veya daha fazladır. Maksimum düzeyde,$P=x_1\dots x_\ell$$2$$d(x_1)=d(x_\ell)=1$. Bir çizim üretebiliriz $G$ ilk çizimde $P$ zig-zag olarak ve sonra dereceyi$1$ bitişik köşeler $x_i$ arasında $x_{i-1}$ ve $x_{i+1}$. $\Box$

Lemma 2. Her grafik$G$ sınıfınızda döngüsel değildir.

Kanıt. varsaymak$G$ çevrimi içerir $x_1y_1x_2y_2\dots x_ky_kx_1$ve gerekli formda bir çizimi olduğunu varsayalım. wlog,$x_2$ yukarıda $x_1$. Ama sonra sahip olmalıyız$y_2$ yukarıda $y_1$ çünkü, aksi takdirde, çizgiler $x_1y_1$ ve $x_2y_2$geçecekti. Tümevarım yoluyla,$x_{i+1}$ yukarıda $x_i$ hepsi için $i\in\{1, \dots, k-1\}$ ve aynı şekilde $y$'S. Ama sonra herhangi bir satır$y_kx_1$ya iki köşe sütunu arasındaki bölgeyi terk etmeli ya da döngüdeki diğer kenarlardan geçmelidir. Bu, grafiğin uygun bir çizime sahip olduğu varsayımımızla çelişmektedir.$\Box$

Lemma 3. Bağlı olan her tırtıl sınıfınızda değil.

Kanıt. İzin Vermek$G$tırtıl olmayan bağlı bir grafik olabilir. Bir döngü içeriyorsa, Lemma tarafından sınıfınızda değildir $2$, bu yüzden bir ağaç olduğunu varsayabiliriz. Bir tırtıl değilse, bir tepe noktası içermelidir $x$ farklı komşularıyla $y_1$, $y_2$ ve $y_3$her biri en az dereceye sahip  $2$.

Bir çizimimiz olduğunu varsayalım $G$gerekli özelliklere sahip. wlog,$y_2$ yukarıda $y_1$ ve $y_3$ yukarıda $y_2$. İzin Vermek$z\neq x$ komşu olmak $y_2$. Kenar $y_2z$ geçmeli $xy_1$ veya $xy_3$, grafiğin gerekli formun bir çizimine sahip olduğu varsayımımıza aykırı. $\Box$

Teorem. Grafik sınıfınız, her biri bileşenleri tırtıl olan orman sınıfıdır.

Kanıt. İzin Vermek$G$grafik olmak. Açıkça,$G$ yalnızca her bileşen şuysa: sınıfınızdaysa: herhangi bir bileşen gerektiği gibi çizilemiyorsa, tüm grafik yapamaz; eğer her bileşen gerektiği gibi çizilebiliyorsa, bileşenler birbiri üzerine yerleştirilerek tüm grafik çizilebilir. Sonuç şimdi Lemmas tarafından takip ediliyor$1$ ve $3$. $\Box$

Doğal sonucu. Grafik sınıfınız, sahip olmayan grafik sınıfıdır$K_3$ veya alt bölümü $K_{1,3}$ küçük olarak.

Kanıt. Bunlar yol genişliği için engellerdir $1$. $\Box$

Bunlar aslında bulduğunuz engeller: ihtiyacınız var $K_3$ ziyade $K_4$ çünkü ikincisi kabul edecekti $K_3$sınıfa; alt bölümü$K_{1,3}$ tam olarak ikinci engelinizdir.

Yani, şu cevap geldi:

Daha önce de belirttiğiniz gibi, yeniden düzenlenemeyen sadece iki olası durum vardır.

İki taraflı bir grafik varsayarsak, ikinci durum doğru bir gösterim değildir, çünkü Wikipedia iki taraflı bir grafiği şu şekilde tanımlar: her kenar bir tepe noktasını$U$ birine $V$.

Düzenleme: Grafiği yanlış okudum, bunun için üzgünüm.

Bu bizi sadece $K_{2,2}$kaçınmak istediğiniz koşul olan tam alt paragraf. Tersine, yeterli koşul, bipartit grafiğinizin kendi içinde tam bir alt grafiğe sahip olmamasıdır.

Diğer altgrafların geçerli olduğunu kanıtlamak için aşağıdakileri hayal edebilirsiniz:

İlk olarak, kenarımızın olmadığını ve keyfi bir kenarla başladığımızı varsayıyoruz. $e$. Bir sonraki kenarı ekleyerek, üç olası durumumuz var:

İlk durum, ilk kenarla aynı düğümde başlayan veya bitmeyen bir düğümümüzün olmasıdır. Bu bizi sorunsuz bir şekilde bırakır ve yerleştirmeye devam edebiliriz.

İkinci durum, - yolda - zaten var olan başka bir kenarı geçen bir kenara sahip olduğumuzdur. Bu durumda tepe noktasını değiştirmeliyiz$V_1$ veya $V_2$ (zaten var olan kenarı olan) yeni kenarlardan biriyle $V_3$ veya $V_4$ölçütleri yerine getirmeye devam edeceğiz.

Bu, değiştirilecek düğümlerde başlayan veya biten başka kenarımızın olmadığını varsayar ve bu da bizi aşağıdaki üçüncü duruma götürür: Dört tepe noktasından birini değiştirdikten sonra $V1-V4$, takas edilen Vertex'ten diğer tüm bağlantıları izlememiz gerekir.

Bir kez daha sadece üç çözüm bulabiliriz: Ya son bir bağlantıyı izleriz ya da daha önce attığımız adımı tekrarlarız (kalan tüm adımları izleriz). Bir bitiş düğümü ile sonuçlanırsak, izlenen tüm düğümleri değiştirebiliriz.

Mümkün olan son durum, daha önce ziyaret ettiğimiz bir düğüme yol açacak ve bu da bizi tam bir alt paragrafla bırakacak ve daha sonra bahsedilen $K_{2,2}$ durum.

DÜZENLEME: Bu kanıtı ikinci davaya genişletmek için aşağıdaki koşullara bakmalıyız:

Genel olarak, en az bir hub (3 veya daha fazla bağlantı) olan bir alt grafiğimiz varsa, bu "oldukça kolaydır".

Görüntülenen vakayı birden fazla komşudan daha yüksek olan bir resmimiz varsa yeniden düzenleyemeyiz ($\langle k\rangle > 1$). Bu önemlidir çünkü daha fazla komşu hakkında bilgi sağlar. Herhangi bir çevreyi (ilk durum gibi) önlemek için onları daha fazla izlememiz bile gerekmiyor, ancak hemen komşuları kontrol etmek gerekiyor.

Kendim bu alanda çok az bilgiye sahip olduğumdan, ancak yine de size olası bir çözüm sunmak istediğimden, sizi (umarım) uygun bir makale bağladım

Eğer birisi bu sorunu isimlendirirse, özellikle bu çözümü bulduğumdan beri, sadece Fáry teoreminden düşünceleri takip ederek ve tam iki taraflı altgrafları takip ederek öğrenmek isterim.