Sonsuz sayıda kurala izin veren CFG'ler ne kadar güçlü?

Son zamanlarda, bağlamsız gramerlerin sonsuz sayıda kurala sahip olmasına izin verirsek ne olacağını merak ediyordum. Açıkçası, bu tür sonsuz kural setlerine keyfi olarak izin verirsek, her dil$L$ bazı alfabelerin üzerinde $\Sigma$ bir CFG tarafından tanımlanabilir $G = (\{S\},\Sigma,R,S)$ ile $R = \{S \rightarrow w \mid w \in L \}$. Ama ya kısıtlarsak$R$ Bağlamdan bağımsız gramerlerle oluşturulabilecek bu tür kurallar dizisine?

Bu amaçla, bir dizi terminal olmayan $N$ ve terminaller $\Sigma$, kuralları unsur olarak görmeyelim $N \times (N\cup \Sigma )^*$, ancak alfabenin üzerinde dize olarak $R_{(N,\Sigma)} = N \cup \Sigma \cup \{\rightarrow\}$. Şimdi sorum şu ki, sonsuz bir kural CFG'sini bir demet olarak tanımlarsak$G = (N, \Sigma, R, S)$ nerede

• $N$ sonlu nonterminal kümesidir
• $\Sigma$ sonlu bir alfabe
• $R$ formun bir dizi kuralıdır $A \rightarrow w$ ile $A \in N$, $w \in (N \cup \Sigma)^*$ öyle ki bazı CFG var $G'$ bitmiş $R_{(N,\Sigma)}$ ile $R = L(G')$
• $S \in N$ ilk terminal olmayan

ve biz tanımlarız $L(G)$ bu tür sonsuz kural CFG'leri tıpkı CFG'ler için yapıldığı gibi, sonsuz kural CFG'leri tarafından üretilen dil sınıfı arasındaki ilişki nedir (diyelim o sınıfı $irCF$), bağlamsız dil sınıfı $CF$ ve sınıf $RE$?

Açıkçası, biz var $CF \subseteq irCF \subseteq RE$, ama $irCF$ Bu sınıflardan birine (ya da başka bir sınıfa) eşit mi?

Farz edin ki metagramı aldık $G'$ve iki sembollü öneklerle çarpanlarına ayırır. Diğer bir deyişle, her biri için$A \in N$ yapı $G'_A$, sol türevi $G'$ ipin üstünde $A \to$. Bu, (sonlu) bir dizi (sonlu) metagram üretecek ve her biri,$A \in N$.

Şimdi dilbilgisini oluşturun $G''$, kuralları dilbilgisi (çarpışmalardan kaçınmak için yeniden adlandırılan terminaller ile tüm kuralların , her için , burada , için başlangıç ​​terminali . için terminal olmayanlar arasında ve her bir için terminal olmayan tüm terminaller ; başlangıç ​​terminali başlangıç terminali değildir ve terminalleri tam olarak terminalleridir . Bunu iddia ediyorum (kanıtsız)$G'_A$$A \to S_{G'_A}$$G'_A$$S_{G'_A}$$G'_A$$G''$$N$$G'_A$$G$$G''$$G$$G''$aynı dil için sonlu bir dilbilgisidir, çünkü türetme süreci kuralların kökeninden etkilenmez; sadece bir alfabe yerine sicim yerine geçer.

Yukarıdaki kanıt taslağı geçerliyse, ve aynıdır.$CF$$irCF$

Bir yorumda belirttiğim gibi, Van Wijngaarden dilbilgileri ve tüm ek gücü kaybetmeden daha yönetilebilir formalizmler yaratmak için yapılan çeşitli girişimler dahil olmak üzere iki seviyeli gramerlerin daha ilginç örnekleri var.