Goldbach Conjecture ve Meşgul Kunduz numaraları?

Tarihsel Bilgiler: Bilgisayar biliminde tam bir uzman değilim.

Burada Meşgul Kunduz sayılarını okuyordum ve aşağıdaki pasajı buldum:

İnsanlık, BB (7) 'nin değerini, sekanstaki BB (7)' nin değerini veya daha yüksek bir sayıyı asla kesin olarak bilemez.

Gerçekten de, ilk beş ve altı kurallı yarışmacılar bizi atlattı: İnsan açısından nasıl 'çalıştıklarını' açıklayamayız. Eğer yaratıcılık tasarımlarını süslüyorsa, bunun nedeni insanların onu oraya koyması değildir. Bunu anlamanın bir yolu, küçük Turing makinelerinin bile derin matematik problemlerini kodlayabilmesidir. Goldbach'ın, her 4 veya daha yüksek sayıdaki her çiftin iki asal sayının toplamı olduğu fikrini kabul edin: 10 = 7 + 3, 18 = 13 + 5. Bu varsayım 1742'den beri kanıtlara karşı koydu. Yine de, diyelim ki, her iki sayıyı iki asalın toplamı olup olmadığını görmek için test eden ve bir karşı örnek bulup bulamadığı zaman durdurulan 100 kurala sahip bir Turing makinesi tasarlayabiliriz. varsayım. Daha sonra BB (100) 'ü bilerek, prensip olarak bu makineyi BB (100) adımlar için çalıştırabilir, durup durmadığına karar verebilir ve böylece Goldbach'ın varsayımını çözebiliriz.

Aaronson, Scott. "Büyük Numarayı Kimler Adlandırabilir?" Büyük Numarayı Kimler Adlandırabilir? Np, Web. 25 Kasım 2016.

Bana öyle geliyor ki yazar sonlu sayıda hesaplamada sonsuz sayıda sayı hakkında bir açıklama olan Goldbach Conjecture'i kanıtlayabileceğimizi veya çürütebileceğimizi öne sürüyor. Birilerini özlüyor muyum?

İfadesi hakkında sonsuz sayıda numaraları, ancak gösteri (veya çürütülmesi) sonlu egzersiz olması gerekir. Eğer mümkünse.

Sürpriz, BB (100) 'ü bulmanın "teorik olarak daha kolay" bir sorun olacağı (sadece pratik nedenlerle imkansız hale getirildiği) varsayımından gelebilir - çünkü çok fazla makine olduğundan ve durmadan önce bu kadar uzun süre çalışabilirler , sonuçta - sonuçta, bunlar sadece makineler ...

Gerçek şu ki, BB (n) 'yi yeterince geniş bir şekilde keşfetmenin hem teorik hem de pratik nedenlerden ötürü ayrılmaz bir görev olması gerekiyor .

Yazarın fikri, aşağıdakileri yapan 100 satırda (burada herhangi bir sabit sonlu sayı) bir program yazabilmenizdi: x sayısını alır, varsayımları test eder. Doğru değilse başka bir sonraki numaraya devam edin.

Meşgul kunduz numarasını bilerek, bu makineyi bu sayıda adım için simüle edebilir ve ardından durup durmadığına karar verebilirsiniz. Yukarıdan, durursa - varsayım doğru değil, durmazsa - varsayım doğrudur.

Aaronson kısa bir süre önce burada Yedidia ile çalışan bu düşünce / fikir üzerinde ayrıntılı olarak genişledi. [1] Goldbachs varsayımı için açık bir 4888 devlet makinesi buluyorlar. nasıl yapıldığını görmek için makaleyi okuyabilirsiniz. TM'ler nadiren inşa edilir, ancak yüksek seviyeli diller temelinde derleyici benzeri olma eğilimi olan ve derleyiciler birçok durum ekler. "elle yapılmış" bir TM, büyüklük sırasından daha az miktarda devleti, örneğin 100'lerde veya 100'den daha az miktarda kolayca kullanabilir. . genel fikir sağlamdır ve bilgisayar bilimcileri genellikle uygulamalı çalışmadan tam sabitler konusunda endişelenmezler.

bu genel teori, Caludes ([1] tarafından da anılacaktır) tarafından, bu alandaki uzun folklor teoremlerinin bazılarını ortaya koyan ve diğer yazarlar (örneğin Michel) tarafından not edilen iki mükemmel makalede özetlenmiştir. [2] [ 3] temelde herhangi bir açık matematik problemi, çözülemez problemlere dönüştürülebilir. bunun nedeni, çoğu matematiksel problemin, karşı örnekler ve karşı örnekler için sonsuz sayıda vakanın araştırılmasını içermesidir (ancak belki de verimsiz veya büyük TM'ler gerektirmektedir).

ayrıca, "çok küçük" TM'ler (# eyalette sayılır) çok karmaşık matematik problemlerini kontrol edebilir / eşdeğer olabilir. Örneğin, TM'nin collatz varsayımını çözmesi için kabaca bir tahmin birkaç düzine devlet olacaktır.

dolayısıyla kararsızlık ile NP tamlığı arasında ilginç bir bağlantı / analoji vardır. NP, verimli bir şekilde kontrol edilebilen problemlerin sınıfıdır, yani örnekler P zamanında kontrol edilebilir. çözülemeyen problemler, verimlilik sınırlaması olmayan karşı numuneler için algoritmik kontrol sağlayan tüm problemlerin sınıfıdır.

burada meşgul kunduz sorunu ile bağlantı anlamak için temel bir yoldur. tüm kararsız problemler Turing hesaplanabilirliği / denkliği nedeniyle eşdeğerdir. tüm NP tam problemleri P zamanında (indirimler) birbirine dönüştürülebildiği gibi, tüm kararsız problemler Turing tamlığı ve hesaplanabilir indirimler (rasgele zaman alabilir) nedeniyle eşdeğerdir. bu nedenle meşgul kunduz problemi bu anlamda durma problemine eşdeğerdir ve eğer meşgul kunduz çözülebilirse, o zaman tüm açık matematiksel soruları çözebilir.

[1] Davranışı küme teorisinden bağımsız olan nispeten küçük bir TM / Yedidia, Aaronson

[2] Matematiksel Problemlerin Karmaşıklığını Değerlendirme: Bölüm 1 / Calude

[3] Matematiksel Problemlerin Karmaşıklığını Değerlendirme: Bölüm 2 / Calude

1. Goldbach varsayımı böyle bir TM programı tarafından (aslında yanlışsa) tahrif edilebilir ; bu şekilde doğrulanamaz (ancak anlayışlı bir matematikçi bunu yapabilir).

2. BB (27) 'nin bilinmesi, bir noktada Goldbach aramasının durdurulmasına izin verecektir; yine de BB (27) (veya Chaitin'in Omega'sı (27)) daha önce Goldbach TM 'ın nihayetinde durup durmadığını bilmelidir.

Bu nedenle "BB (27) Goldbach'ın cevabını içeriyor" demek yanıltıcıdır. Olsa da, daha da önemlisi: "Goldbach (ve diğerleri) BB (27) sayısının önkoşuludur, başka bir deyişle, 27'de meydan okuduğunuz" BB-fonksiyonu "diye bir şey yoktur. Biz sadece 27 durumlu makinelerin hepsini çalıştırın, inkl. Goldbach ve ancak gerçekten sonra bkz. BB (27). Ve pratik bir POV'dan BB (6) bile zor görünüyor.

Sanırım Aaronson'un ispatını kanıtlar açısından yeniden ifade etmemiz daha az gizemli geliyor:

Sabit böylece Goldbach'ların herhangi bir dayanıklılığı olmasaydı, en fazla karakteri uzun olurdu . Bu nedenle, bilseydik , tüm uzunluk dizelerini en fazla listeleyerek ve bunlardan herhangi birinin geçerli bir kanıt olup olmadığını kontrol ederek varsayımı kanıtlayabilir veya çürütebiliriz .C C $C$$C$$C$$C$

Goldbach'ın doğru olup olmadığını bilmeden isimlendirmek biraz büyülü (pratikte çok büyük olsa da). Bunu görmenin en kolay yolunun Turing Machines ile olduğunu hissediyorum. Goldbach'ın olası tüm karşı örneklerini numaralandıran ve kontrol eden TM, sonlu açıklama uzunluğu , bu nedenle durursa, adımlarından daha az bir sürede yapar . Bu hesaplamanın transkripti geçerli bir ispat olacaktır ve sadece karakterleri alacaktır .C n B B ( n ) C = O ( B B ( n ) $C$$C$$n$$BB(n)$$C = O(BB(n))$