Bir Turing Makinesi “tanımı gereği” en güçlü makine midir?

Bir Turing Makinesinin "tüm olası matematik problemlerini" yapabileceğini kabul ediyorum. Ancak bunun nedeni sadece bir algoritmanın bir makine temsili olmasıdır: ilk önce bunu yapın, sonra bunu yapın, sonunda çıktı alın.

Çözülebilir her şeyin bir algoritma ile temsil edilebileceği anlamına gelir (çünkü bu tam olarak 'çözülebilir' tanımıdır). Bu sadece bir totoloji. Burada yeni bir şey demedim.

Ve bir algoritmanın bir makine gösterimini oluşturarak, olası tüm problemleri çözeceği de yeni bir şey değildir. Bu aynı zamanda sadece bir totolojidir. Temel olarak, bir Turing Makinesinin en güçlü makine olduğu söylendiğinde, etkili bir şekilde demek, en güçlü makinenin en güçlü makine olmasıdır!

"En güçlü" tanımı: Herhangi bir dili kabul edebilecek olan.
"Algoritma" tanımı: Her şeyi yapma süreci. "Algoritma" nın makine gösterimi: Her şeyi yapabilen bir makine.

Bu nedenle, bir algoritmanın makine gösteriminin en güçlü makine olması mantıklıdır. Alan Turing'in bize verdiği yeni şey neydi?

Bir Turing Makinesinin "tüm olası matematik problemlerini" yapabileceğini kabul ediyorum.

Yapmamalısın, çünkü doğru değil. Örneğin, Turing makineleri, tamsayı katsayılı polinomların tamsayı çözümlerinin olup olmadığını belirleyemez ( Hilbert'in onuncu sorunu ).

Turing Makinesi “tanımı gereği” en güçlü makine midir?

Hayır . Daha güçlü makinelerin sonsuz bir hiyerarşisini hayal edebiliriz . Ancak, Turing makinesi, en azından prensipte nasıl yapılacağını bildiğimiz en güçlü makinedir. Yine de bu bir tanım değil: daha güçlü bir şeyi nasıl inşa edeceğimize dair bir ipucumuz olmadığı, hatta mümkün ise.

Alan Turing'in bize verdiği yeni şey neydi?

Algoritmanın resmi bir tanımı. Böyle bir tanım olmadan (örneğin, Turing makinesi), "Bir şeyi çözmek için son derece belirlenmiş bir prosedür" satırları boyunca sadece algoritmanın gayrı resmi tanımları vardır. Tamam harika. Ancak bu prosedürlerin hangi bireysel adımları atmasına izin verilmektedir?

Temel aritmetik işlem basamakları mı? Bir eğrinin gradyanını bulmak bir adım mıdır? Polinomların köklerini bulmak bir adım mıdır? Tam sayıdaki polinom köklerini bulmak bir adım mıdır? Bunların her biri doğal görünüyor. Ancak, hepsine izin verirseniz, "kesin olarak belirlenmiş prosedürleriniz" Turing makinelerinden daha güçlüdür, bu da algoritmalar tarafından çözülemeyen şeyleri çözebilecekleri anlamına gelir. Sonuncusu haricindeki herkese izin verirseniz, hala Turing hesaplamalarının alemindesiniz.

Resmi bir algoritma tanımımız olmasaydı, bu soruları bile soramazdık. Biz bir algoritma bilemezdim, çünkü algoritmalar neler yapabileceğini tartışmak mümkün olmaz ise .

Bununla ilgili veya “sadece bir totoloji” olduğu ifadelerini tekrar tekrar yaparken doğru değilsiniz. Öyleyse iddialarınızı biraz tarihsel bir bağlam içine sokmama izin verin.

Her şeyden önce, kullandığınız kavramları kesin olarak yapmanız gerekir. Sorun nedir? Algoritma nedir? Makine nedir? Bunların açık olduğunu düşünebilirsiniz, ancak 1920'lerin ve 1930'ların iyi bir kısmı, bunları çözmeye çalışan logistler tarafından harcandı. Biri Turing makineleri olan en başarılı olan birkaç teklif vardı. Daha sonra diğer tekliflerin Turing makinelerine eşdeğer olduğu ortaya çıktı. "Bilgisayar" kelimesi bir makine değil bir insanı işaret ettiğinde bir çağ hayal etmelisiniz. Sadece yüz yıl önceki parlak zihnin dalgasını ve parlak icatların sonuçlarını, farkında olmadan sürüyorsunuz.

Turing makineleri durum, kafa ve çalışma bandı cinsinden somut olarak tanımlanmıştır. Bunun içinde yaşadığımız evrenin bilgi işlem olanaklarını tükettiği çok açık değil. Elektrik, su veya kuantum olaylarını kullanarak daha güçlü bir makine yapamaz mıyız? Bir Turing makinesini, sadece doğru hız ve yönde bir kara deliğe uçurursak, böylece bize sonlu görünen zamanda sonsuz sayıda adım uygulayabilirse? Sen olamaz sadece "belli ki" demek - ilk genel görelilik bazı hesaplamalar yapmak gerekir. Peki ya fizikçiler paralel evrenleri iletişim kurmanın ve kontrol etmenin bir yolunu bulurlarsa, böylece paralel zamanda sonsuz sayıda Turing makinesini çalıştırabiliriz?

O mu değil şu anda biz bunları yapamaz bunun bir önemi. Ancak önemli olan, Turing'in fiziksel olarak neyin mümkün olduğu hakkında düşünmesi gerektiğini anlamanızdır (o sırada fizik bilgisine dayanarak). Sadece "sadece bir totoloji" yazmıyordu. Bundan çok, hesaplamanın gayrı resmi anlamda ne anlama geldiğini dikkatlice analiz etti, sonra resmi bir model önerdi, bu modelin insanların "hesaplama" ile ne anlama geldiğini yakaladığını ve bununla ilgili bazı önemli teoremleri elde ettiğini çok dikkatli bir şekilde savundu. Bu teoremlerden biri Turing makinelerinin tüm matematik problemlerini çözemeyeceğini söylüyor (yanlış ifadelerinizin aksine). Bütün bunlar, yaz ayları boyunca öğrenci iken tek bir bildiri ile yazılmış.oldu Modern genel amaçlı bilgisayar fikrinin icadı. Bundan sonra sadece basit bir mühendislik meselesiydi.

Bu, Turing’in insanlığa yalnızca bir totolojinin ötesinde katkısına cevap veriyor mu? Ve gerçekten de makalesini okudun mu?

"Çözülebilir her şeyin bir algoritma ile temsil edilebileceği" olduğu açık değildir.

Bu, yoğun tartışmaların hedefi olmuştur, çünkü Alonzo Kilisesi'nin fikirlerini elden geçiren Alan Turing, atıfta bulunduğunuz makinenin şeklini alan bir sayılabilir hesap tanımı önermiştir. Daha da önemlisi, o zamanlar bu tür bir şey üzerinde çalışan tek insanlar değildi.

Buna hala bir tez - ya da bir varsayım - diyoruz çünkü “hesaplanabilen her şey” açıkça yapısı ve kapsamı spekülatif olmayan bir şekilde çalışılabilecek kesin bir matematiksel nesne değildir.

İlk olarak, Turing Machines'in ilk olarak Turing tarafından tasarlandığını, fiziksel olarak gerçekleştirilebilen herhangi bir bilgisayarın modeli olarak değil, adım adım mekanik olarak hesaplanan bir insan tarafından hesaplanabileceklerin ideal bir sınırı olarak tasarlandığını unutmayın. tarzı (sezgi kullanımı olmadan). Bu nokta yaygın olarak yanlış anlaşılıyor - bu ve ilgili konular hakkında mükemmel bir açıklama için [1] 'e bakınız.

Turing'in Turing Machine'leri için öne sürdüğü titizlik sınırlamaları, insan duyu aparatının öngörülen sınırlamalarına dayanmaktadır. Turing'in analizlerinin fiziksel olarak gerçekleştirilebilen bilgisayar cihazlarına (ve benzer Kilise Turing tezlerine) genelleştirilmesi, Robin Gandy nedeniyle fizik yasalarına dayanan sınırlamalarla çok daha sonra gelmedi (1980). Odifreddi'nin dediği gibi p. [2] 51 (Klasik Özyineleme Teorisi İncil)

Tornalama makineleri teorik cihazlardır, ancak fiziksel sınırlamaları göz önünde bulundurarak tasarlanmıştır. Özellikle, aşağıdakilerden gelen model kısıtlamalarımıza dahil ettik:

• (a) ATOMISM, makinenin herhangi bir konfigürasyonunda (sonlu bir sistem olarak) kodlanabilecek bilgi miktarının sınırlandırılmasını sağlayarak; ve

• (b) GÜVENİLİRLİK, mesafedeki eylemleri dışlayarak ve nedensel etkinin yerel etkileşimler yoluyla yayılmasını sağlayarak. Gandy [1980], Turing makinesinin nosyonunun, kesin bir anlamda, benzer sınırlamaları karşılayan herhangi bir hesaplama cihazını üstlenecek kadar genel olduğunu göstermiştir.

ve s. 107: (Genel bir kesikli, deterministik aygıt teorisi)

Analiz (Kilise [1957], Kolmogorov ve Uspenskii [1958], Gandy [1980]), atomizm ve görelilik varsayımlarından başlar. Birincisi, maddenin yapısını sınırlı boyuttaki sınırlı temel parçacıklardan oluşan bir gruba indirgemektedir ve böylece bir makineyi bir temel bileşen grubuna indirmenin teorik olasılığını haklı çıkarmaktadır. Sonuncusu, nedensel değişimlerin yayılma hızına bir üst sınır (ışığın hızı) uygular ve bu nedenle, bir anlık alanda üretilen bir nedensel etkiyi, bölgeler tarafından üretilen eylemlere indirgeme teorik olasılığını haklı kılar. noktaları bir nokta V'den c * t uzaktadır. Tabii ki, varsayımlar sürekli olan veya bir mesafeden sınırsız harekete izin veren sistemleri (Newtonian yerçekimi sistemleri gibi) dikkate almaz.

Gandy'nin analizi, DAVRANIŞIN OLASI YAPILANDIRMALARININ SINIRLI OLDUĞU ÜZERİNE SABİT BİR BAĞLI CİHAZ İÇİN ALACAK OLDUĞUNDAN SONUÇLARI herhangi bir konfigürasyon sınırlandırılmıştır) VE YERLEŞTİRİLMİŞ SONLU, YEREL VE ​​KÜRESEL EYLEM İÇİN TALİMATLARIN BELİRLİK SETLERİ (ilki, yapılandırılmış parçalar üzerindeki bir eylemin etkisinin nasıl belirleneceğini, ikincisi yerel etkilerin nasıl birleştirileceğini söyler). Dahası, analiz, kesin olarak yapıldığında, koşulların rahatlatılmasının herhangi bir davranışla uyumlu hale gelmesi anlamında optimumdur ve bu nedenle özyinelemeli davranışın yeterli ve gerekli bir açıklamasını sağlar.

Gandy'nin analizi Turing Makinelerinin gücü ve sınırlamaları hakkında çok aydınlatıcı bir bakış açısı sunar. Bu konularda daha fazla fikir edinmek için okumaya değer. Ancak, Gandy’in 1980 tarihli makalesinin [3] bazı bilişimciler tarafından bile zor olarak kabul edildiğine dikkat edin. Önce [4] 'deki kağıtları J. Shepherdson ve A. Makowsky tarafından incelemek yararlı olabilir.

[1] Sieg, Wilfried. Mekanik prosedürler ve matematiksel deneyim. [sf. 71-117. Matematik ve akılda. Amherst College, Amherst, Massachusetts, 5-7 Nisan 1991 tarihlerinde düzenlenen Matematik Felsefesi Konferansı'ndan bildiriler. Alexander George tarafından düzenlenmiştir. Mantıksal Hesaplama. Philos. Oxford Univ. Press, New York, 1994. ISBN: 0-19-507929-9 MR 96m: 00006 (Hakem: Stewart Shapiro) 00A30 (01A60 03A05 03D20)

[2] Odifreddi, Piergiorgio. Klasik özyineleme teorisi. Fonksiyonlar ve doğal sayılar kümeleri teorisi. GE Sacks'in önsözüyle. Mantık ve Matematiğin Temelleri, 125. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1989. xviii + 668 s. ISBN: 0-444-87295-7 MR 90d: 03072 (Hakem: Rodney G. Downey ) 03Dxx (03-02 03E15 03E45 03F30 68Q05)

[3] Gandy, Robin. Kilise tezi ve mekanizmaları için ilkeler. Kleene Sempozyumu. Sempozyumun Bildirileri, Wisconsin Üniversitesi, Madison, Wis., 18-24 Haziran 1978'de yapıldı. Jon Barwise, H. Jerome Keisler ve Kenneth Kunen tarafından düzenlendi. Mantık ve Matematiğin Temelleri, 101. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. xx + 425 s. ISBN: 0-444-85345-6 MR 82h: 03036 (Hakem: Douglas Cenzer) 03D10 (03A05)

[4] Evrensel Turing makinesi: yarım yüzyıllık bir anket. İkinci baskı. Rolf Herken tarafından düzenlenmiştir. Computerkultur [Bilgisayar Kültürü], II. Springer-Verlag, Viyana, 1995. xvi + 611 s. ISBN: 3-211-82637-8 MR 96j: 03005 03-06 (01A60 03D10 03D15 68-06)

Şimdiye kadar okuduğum bu sorunun en popüler tartışması, MIT profesörü Scott Aaronson'un makalesi ve Büyük Numarayı Kimler Adlandırabilir? diğer şeylerin yanı sıra, süper Turing makinelerinin, süper duper Turing makinelerinin ve süper duper pooper Turing makinelerinin etkilerini araştırıyor.

Hayır, TM'ler en güçlü değil. İki örnek:

a) Bir TM ile aynı sonuçları hesaplayan, ancak algoritmik olarak daha hızlı olan başka makineler olabilir (örneğin, asal çarpanları hesaplayan kuantum bilgisayarlar). "Daha hızlı" bir tür güçtür.

b) TM'ler, genel Gerçek rakamları kusursuz bir şekilde temsil edemez. Ancak bir Analog Bilgisayar (AC) Real sayıları ile aritmetik olarak kusursuz bir şekilde temsil edebilir ve yapabilir. Bu, herhangi bir TM'den daha güçlü olacaktır.

Elbette (b), evrenimizin, AC'nin Gerçek değerleri temsil etmek için kullanabileceği bazı sürekli özelliklere (yerçekimi?) Sahip olmasını gerektirir. Belki de yerçekimi dahil her fiziksel özellik ölçülür. Fakat sürekli bir evrendeki makineler hakkında spekülasyon yapabiliriz. Bu yüzden, TM'ler “tanım gereği” en güçlü değillerdir.

Hesaplamalı karmaşıklığa bakarsanız, bir Turing Makinesi en güçlü makinedir - çünkü sınırsız belleğe sahiptir ve gerçek bir makinede yoktur. Herhangi bir gerçek makine, rastgele boyuttaki sorunları çözemez; Bir sorunu bile okuyamıyorlar , çok daha az çözüyorlar.

Öte yandan, gerçek bir Turing Makinesi uygulamaya çalıştıysanız, durması ve bant biterse bir alarm çalması şartıyla, herhangi bir hesaplama yapmak için çok daha fazla adım alacağını söyleyelim. diyelim ki gerçek makineyi ucuz bir telefondan söyleyelim ve gerçek problemleri çözmede çok daha yavaş olacaktı. Ayrıca, bir kasete cevap yazmanın çok iyi bir kullanıcı arayüzü olmadığını göreceksiniz. Ve birçok insanın bilgisayarları problemleri çözmek için değil, arkadaşlarına çıplak fotoğraflar göndermek ve kedi videoları izlemek için kullandığını ve bir Turing Makinesi'nin bunun için bir faydası olmadığını göreceksiniz.