Lambda hesabı soyut görünmüyordu. Ve amacını göremiyorum

Temel soru:

Lambda hesabı bizim için, ortaokul cebirinde genel olarak öğrenilen temel işlev özellikleri ve notasyon ile yapamayacağımız için ne yapar ?

Her şeyden önce, soyut lambda hesabı bağlamında ne anlama geliyor? Soyut kelimesini anlamam, bir kavramın kavramsal özeti olan makinelerden ayrılan bir şeydir.

Ancak lambda fonksiyonları, fonksiyon isimlerini kaldırarak belirli bir soyutlama seviyesini önler. Örneğin:

f(x) = x + 2
h(x, y) = x + 5 y

Ancak bu işlevlerin makinelerini tanımlamaksızın bile, bileşimleri hakkında kolayca konuşabiliriz. Örneğin:

1. h(x, y) . f(x) . f(x) . h(x, y) or 
2. h . f . f . h

İstersek argümanları ekleyebiliriz ve olup bitenler hakkında genel bir fikir vermek için tamamen soyutlayabiliriz. Ve onları hızla tek bir işleve indirebiliriz. Kompozisyon 2'ye bakalım. Vurgulamaya bağlı olarak yazabileceğim öğrenci detay katmanlarım olabilir:

g = h . f . f . h
g(x, y) = h(x, y) . f(x) . f(x) . h(x, y)
g(x, y) = h . f . f . h = x + 10 y + 4

Yukarıdakileri lambda hesabı ile gerçekleştirelim veya en azından fonksiyonları tanımlayalım. Bunun doğru olduğundan emin değilim, ama ilk ve ikinci ifadelerin 2 kat arttığına inanıyorum.

(λuv.u(u(uv)))(λwyx.y(wyx))x

Ve 5y ile çarpmak.

(λz.y(5z))

Soyut olmaktan ziyade, bu, ekleme, çarpma, vb. Anlamına gelen makineye giriyor gibi gözüküyor.

Dahası, lambda hesabının neden bir şey olduğunu görmek için uğraşıyorum. Avantajı nedir

(λuv.u(u(uv)))(λwyx.y(wyx))x

bitmiş

h(x) = x + 5 y

veya kombine gösterim

Hxy.x+5y

hatta Haskell'in gösterimi

h x y = x + 5 * y

Yine, lambda hesabı bizim için ne yapıyor? F (x) tarzı fonksiyon özellikleri ve çoğunun aşina olduğu notasyon ile yapamayız.

Lambda hesabının bu kadar önemli olmasının birçok nedeni vardır.

Çok önemli bir neden, lambda hesabı, hesaplanabilir fonksiyonların birinci sınıf vatandaş olduğu bir hesaplama modeline sahip olmamızı sağlar.

Ortaokul cebiri dilinde üst düzey fonksiyonları ifade etmek mümkün değildir .

Örnek olarak lambda ifadesini ele alalım

Bu basit ifade bize lambda hesabı içinde fonksiyon kompozisyonunun kendisinin bir fonksiyon olduğunu gösterir. Ortaokul cebirinde bu kolayca ifade edilemez.

Lambda hesabında, bir fonksiyonun bir fonksiyonu sonuç olarak döndüreceğini ifade etmek çok kolaydır.

İşte küçük bir örnek. İfade (burada, toplama ve tamsayı sabitleri ile uygulamalı bir lambda hesabı varsayıyorum)

azalacak

Ayrıca lambda hesabı içinde fonksiyonların f ( x ) = e biçiminin tanımları değil ifadeler olduğuna dikkat edin . Bu bizi işlevleri adlandırma ve sözdizimsel ifade kategorileri ile sözdizimsel tanım kategorileri arasında ayrım yapma ihtiyacından kurtarır.$f(x) = e$

Ayrıca, daha üst düzey işlevleri ifade etmek imkansız olduğunda (veya sadece notasyonel olarak hantal), ifadelere tür atama konusunda da problemler olacaktır.

Fonksiyon bileşimi polimorfik tiptedir

Hindley-Milner tipi sistemde.

Lambda hesabı için çok güçlü bir satış noktası, daktilo edilmiş lambda hesabı kavramının kesin olmasıdır . Haskell ve ML ailesi gibi fonksiyonel programlama dilleri için çeşitli tip sistemleri lambda calculi için tip sistemlerine dayanır ve bu tip sistemler matematiksel teoremler şeklinde güçlü garantiler sağlar:

Bir program iyi yazılmışsa ve e artık e ′ değerine düşerse , e ′ da iyi yazılacaktır.$e$$e$$e'$$e'$

Ve iyi yazılmışsa, e bazı hatalar göstermez.$e$$e$

Deliller programları gibi yazışmalar özellikle dikkat çekicidir. Curry-Howard izomorfizmi (bkz. Https://www.rocq.inria.fr/semdoc/Presentations/20150217_PierreMariePedrot.pdf ) basitçe yazılan lambda hesabı ile sezgisel önermenin mantığı arasında çok kesin bir yazışma olduğunu gösterir: mantıksal formüle tekabül φ T . Bir kanıtı, φ T türü ile bir lambda terimine karşılık gelir T , ve dayanıklı bir kesim eliminasyonunu gerçekleştirmeden bu terim tekabül bir beta-azalma.$T$$\phi_T$$\phi_T$$T$

Ortaokul cebirinin, uygun bir Curry-Howard izomorfizmi kavramıyla birlikte daha üst düzey, polimorfik olarak tiplenmiş ortaokul cebirinin bir hesabını geliştirmesi için lambda hesabına iyi bir alternatif olduğunu düşünenleri çağırıyorum. Ortaokul cebirine dayalı etkileşimli bir kanıt asistanı bile çalıştırabilirseniz, Coq ve Isabelle gibi lambda hesabı tabanlı kanıt asistanları kullanılarak resmileştirilmiş birçok teoremleri daha da iyi hale getirebiliriz. O zaman ortaokul cebirini kullanmaya başlarım ve bu yüzden eminim birçokları benimle olur.

Fonksiyonlar ilk kez gençlere tarif edildiğinde, bunlar aslında grafikler (grafikler) veya belki de formüller ile tanımlanır; matematikteki biçimci eğilimlerin ortaya çıkmasından önce işlevlerin tarihsel olarak anlaşılması budur. Günümüzde fonksiyonlar, birinci yıl matematik öğretilen, gerçek fonksiyonlar, gelen fonksiyonlar için R .$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

Lambda hesabındaki fonksiyonlar çok daha geneldir. Tam tanım, lambda hesabınızın tipine veya tipine bağlı olmamasına bağlıdır. Saf türetilmemiş lambda hesabında her şey bir işlevdir. Bu, analizin gerçek işlevlerinden çok daha geneldir.

Prosedürel diller bile bazen lambda hesabından fikirler kullanır. C'deki sıralama işlevi parametre olarak öğeleri karşılaştırmak için kullandığı bir karşılaştırma işlevi olarak kabul eder . Lambda hesabı çok daha ileri gider - fonksiyonlar sadece fonksiyonları girdi olarak kabul etmekle kalmaz, aynı zamanda çıktısını da alabilir.

Lambda hesabı Turing makinelerine eşit güçte bir hesaplama modelidir. Kendi kendine tamamlanmış bir sistemdir. Saf lambda hesabı ilkel terimler olarak "5" veya "+" içermez - tıpkı "5" ve "+" gibi küme teorisinin ilkel değerleri gibi, hesap içinde tanımlanabilirler. (Pratik programlama dilleri verimlilik nedeniyle doğal sayıları doğal olarak uygular.)

Lambda hesabından etkilenmemenizin nedenlerinden birinin, fikirlerinin programlama söylemini o kadar çok kapladığı ve artık yenilikçi görünmediğinden şüpheleniyorum.

$x^2$$x$$x^2$

$\lambda x.x^2$$x^2$

$f$$f(x) = x^2$$f$

Programlama dillerinde lambda ifadelerinin kullanımı da benzer bir avantaja sahiptir; programınızda başka bir yerde yepyeni bir işlev tanımlamak yerine, işlevin gereken yere tam olarak ne yazdığını yazabilirsiniz.

Hatta lambda soyutlamanın matematikte örtülü olduğunu bile görebilirsiniz; örn. kalkülüs öğrencilerine sadece fonksiyonların türevleri hakkında bilgi verilir , bu nedenle Leibniz notasyonu uzlaştırmak için$\frac{d}{dx} x^2$$\frac{d}{dx}$$x^2$

$\theta : V \to V^{**}$

Birçok kişi, bu çift değerlendirme gösterimini kafa karıştırıcı ve / veya rahatsız edici bulmanın yanı sıra, bir fonksiyonun noktasal tanımının tekrarlı olarak kullanılmasını bulur. Lambda soyutlama versiyonu

bu problemi yok.

Son olarak, "basitçe yazılan lambda taşı" nın temelde "kartezyen kapalı kategori" ile aynı şey olduğu soyut bir saçmalık teorisi vardır - bu yüzden kendinizi kartezyen kapalı bir kategoride hesaplama yapmak istediğinizde bulursanız, muhtemelen kullanmak iyi bir fikirdir. basitçe bunu yapmak için lambda hesabı yazdım.

Önde diyeceğim ki, bu konuda uzman değilim, ama bunu incelemek için biraz zaman harcadım ve herhangi bir konuda en büyüleyici şeylerden biri arkasındaki tarih. Bu yüzden bana lambda hesabının arkasındaki tarihin birazını anlamak neden yararlı olduğunu açıklamaya yardımcı oluyor .

Kısa özet, set teorisinin başlamasından sonraki 1900'lerin başında ve matematiğin setlere dayanarak yeniden tasarlandığını, bazı matematikçiler ise bir set teorisi tanımının belirli bir yapının var olduğunu iddia etmenizi sağlarken, size nasıl olduğunu söylemediklerini fark ettiler. inşa etmek ve hesaplamak için. Yani set-teorik tanımlar yapıcı değildir . Matematikçiler, bir şeyin olduğunu kanıtlamanın ötesinde yapıcı tanımlar geliştirmenin ve bunun nasıl olduğunu kanıtlamanın bir yolu olup olmadığını merak etmeye başladılar .

Gönderen Vikipedi :

Matematikte yapıcı bir kanıt, nesneyi oluşturmak için bir yöntem oluşturarak veya sağlayarak matematiksel bir nesnenin varlığını gösteren bir kanıt yöntemidir. Bu, belirli bir tür nesnenin varlığını örnek vermeden kanıtlayan, yapıcı olmayan bir kanıtın (varlık varlığı veya saf varlık teoremi olarak da bilinir) aksine.

Turing, soruyu cevaplamak için Turing Machine otomatlarını geliştirdi ve Church, soruyu cevaplamak için lambda hesabını da geliştirdi. Kleene ayrıca Kleene Star'ı içeren bir yöntem geliştirdi$*$düzenli ifadeler olarak benimsenmiştir ve başka bir yöntem geliştiren (hazırlıksız olarak hatırlayamayan) bir başkası vardı. Bütün bunlar, başından itibaren yapıcı tanımlara izin verecek bir temelde matematik sistemi inşa etmek amacıyla geliştirilmiştir.

Daha sonra lambda kalkülüsünün ve Turing makinesinin her türlü hesaplanabilir fonksiyonu temsil edebileceği ve dolayısıyla eşdeğer olduğu gösterilmiştir.

Teoride, herhangi bir matematiksel fonksiyon veya kavram lambda hesabı biçiminde kodlanabilir ve hesaplanabilir. Bu, lambda kalkülüsünün, matematik için tamamen ayrı bir temel olabileceği anlamına gelir, ancak açıkça son derece sıkıcıdır.

Lambda hesabı, kodu kullanarak kod yazmayacağınız anlamında "yararlı" değildir, ancak programları ve dinamik etkilerini tanımlamak için kullanılan anlamsal anlambilimin temelini oluşturur . Bu, programın doğruluğu ve anlambilimsel anlamın tartışılmasında kullanılır. Ayrıca, tüm uygulama kavramlarını lambda hesabından alan fonksiyonel programlama dillerinin gelişimini de açıkça etkiledi.

Umarım yardımcı olur.

Eklemek için düzenleyin: Topoloji, lambda hesabı ve fizik arasındaki ilişkiyi gösteren bu makaleye işaret ettim . Kısaca gözden geçirme bu fantastik açıklamaya rastladım:

Bir Turing makinesi ideal, basitleştirilmiş bir bilgisayar donanımı modeli olarak görülebilirken , lambda hesabı daha çok basit bir yazılım modeline benzer . ... Şiirsel olarak konuşursak, lambda hesabı her şeyin bir program olduğu ve her şeyin veri olduğu bir evreni tanımlar: programlar veridir .

Mesele şu ki, lambda hesabı ideal bir yazılım hesaplaması modelidir ve bu nedenle herhangi bir programlama dilinde belirli bir uygulamaya bağlı değildir . Saf hesaplamayı modeller .

Yuval'ın yorumlarda belirttiği gibi Haskell, $\lambda$-calculus. Lambda hesabının bu kadar önemli olmasının bir başka nedeni de tembel değerlendirmenin varlığını haklı kılan Church-Rosser Teoremi'dir . (Haskell'in birçok harika özelliğinden biri)

Lambda hesabı bir programlama dili olarak tasarlanmamıştır. Gerçekten de, programlanabilir bilgisayarlarımız bile olmadan, onlarca yıl 1930'larda yaratıldı. Daha ziyade, kendisi, hesaplama üzerinde çalışmak için resmi bir model olarak yaratıldı. Kodu veya matematiksel işlevleri ne kadar kolay ifade ettiğinden hayal kırıklığına uğradıysanız, bunun nedeni bu değildir.

Lambda hesabı, anonim (diğer adıyla lambda) fonksiyonların yaratılabilmesi için mevcuttur. İşlev adlarını ortadan kaldırmazsanız, ad alanı karmaşıklaşabilir ve kullanılabilir işlev adları bitebilir. Bu, belirgin nedenlerle işlevleri (veya işlev işaretleyicilerini) döndüren "yüksek dereceli işlevler" ile uğraşırken özellikle önemlidir.

Esasen lambda fonksiyonları, yerel olarak kapsamış değişkenlere eşdeğerdir. Lambda fonksiyonları olmadan fonksiyonel programlama, herhangi bir yerel değişken olmadan prosedürel programlamaya benzer, yani korkunç bir fikir.

"neden lambda hesabı bir şeydir" matematikçiler artıklığı sever. lambda hesabı matematikte nadiren kullanılır çünkü gösterimi keşfettiğiniz için çok kullanışlı değildir.

"Ortaokul cebirine dayalı, Coq ve Isabelle gibi lambda kalkülüs-tabanlı kanıt asistanları kullanılarak resmileştirilmiş birçok teoremleri kanıtlamamıza izin veren etkileşimli bir kanıt asistanı bile çalışabilseydiniz, bu daha iyi olurdu. sonra ortaokul cebirini kullanmaya başladım ve eminim pek çok kişi benimle olur. " Metamat duydun mu? Orada bulunan hiçbir lambda hesabı, coq / isabelle teoremlerinin çoğunu kanıtlayamaz